习题3.2教学设计(第二课时)

教学准备 1.

教学目标 １、知识与技能：

1）、理解并能求平面的法向量；

2）、利用平面的法向量、直线的方向向量，判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系；

２、过程与方法：经历用向量解决某些问题，体会向量是一种处理几何问题的工具；

３、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，体验创造的激情，培养学生发现、提出、解决问题的能力

2.

教学重点/难点 重点：空间线线、线面、面面关系的判定，空间中距离有关问题的推导过程及问题的解决。

难点：空间线线、线面、面面关系的证明、空间中距离的有关问题的解决。

3.

教学用具 多媒体设备

4.

标签

教学过程 教学过程设计

新课导入

引入1.平面向量

推广到

空间向量研究

立体几何问题(研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形) 今天，我们将进一步来学习向量这一工具在立体几何中的应用. 复习：

共线向量定理:

对于空间中任意两个向量。

如果两个向量y，使（一）.思考引入

1、如何确定一个点在空间的位置？

不共线，则向量与。

，的充要条件是：存在实数共线的充要条件是：存在实数x，2、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？

3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？

4、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？

（二）.问题探究一

1.

点的位置向量

在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点p的位置向量。

2.

直线的方向向量

如图,为经过已知点A且平行于非零向量的方向向量。

的直线,那么非零向量叫做直线

换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量

直线的向量式方程：

空间中任意一条直线

这样点A和向量点。

的位置可以由上一个定点和其方向向量来确定. 上的任意一不仅可以确定直线的位置，还可以具体写出3．用直线的方向向量表示平面

空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.对于平面上的任一点P,存在有序实数对（x，y）,使得，这样，点O与向量不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点。

4、平面的法向量

如果直线⊥平面，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量。

换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量。

平面的向量式方程：

关于法向量几点注意：

1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有。

（三）.典例展示

例1.

如图所示, 正方体的棱长为1

直线OA的一个方向向量坐标为___________ 平面OABC 的一个法向量坐标为___________ 平面AB1C 的一个法向量坐标为___________ 思考：如何求平面的法向量？

例2.在空间直角坐标系中,已知A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2),试求平面ABC的一个法向量.

学生通过完成本题，总结求平面法向量的方法：

（1）、设出平面的法向量为

（2）、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标

（3）、根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组（4）、解方程组，取其中的一个解，即得法向量

变式练习 1.已知

求平面ABC的单位法向量。

（四）.问题探究二

平行关系、垂直关系：

思考：因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？

1、平行关系：

2、垂直关系：

3、巩固性训练

学生根据条件快速完成

（五）.典例展示2 例3.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的中点，求证：PA//平面EDB

解1

立体几何法

证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG 在三角形PAC中，E，G分别为PC，AC的中点

解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG

解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1

例4

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1,，CD中点，求证：D1F⊥平面ADE 证明：

设正方体棱长为1，所示坐标系D-xyz，

为单位正交基底，建立如图

变式练习2.正方体ABCD-A1B1C1D1，E是AA1中点，求证：平面EBD⊥平面C1BD 证明：设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系

E(0,0,1)，B(2,0,0)，D(0,2,0) 设平面EBD的一个法向量是

课堂小结

空间向量与平行、垂直的关系

1．直线的方向向量；

2．如何理解平面的法向量？

(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．

(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．

3．利用向量证明平行、垂直问题

(1) 平行：线线平行、线面平行、面面平行；

(2)垂直：线线垂直、线面垂直、面面垂直。

课后习题 1．若直线1，A．1∥C．1与答案：B 2．已知直线l的方向向量为v，平面α的法向量是μ，且v·μ＝0，则l与α的位置关系是__________．

答案：l⊂α或l∥α

3．已知M(1,0,1)，N(0,1,1)，P(1,1,0)，则平面MNP的一个法向量是（）

A．(1,0,0)

B．(0,1,0)

C．(0,0,1)

D．(1,1,1) 解析：选D.设平面MNP的一个法向量为n＝(x，y，z)，

2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则（）

1⊥2 2 B．2相交但不垂直 D．以上均不正确

作业：请同学们独立完成配套课后练习题。

板书