3.1.3 空间向量的数量积运算教案推荐

3.1.3

空间向量的数量积运算

学习目标

1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.3.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．

知识点一

空间向量的夹角

思考

〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？

答案

〈a，b〉与〈b，a〉分别表示向量a，b与b，a的夹角，根据空间向量夹角的定义知〈a，b〉与〈b，a〉相等．

→→梳理

(1)如图所示，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

(2)a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a与b的夹角的范围是[0，π]，其中当〈a，b〉＝0π时，a与b方向相同；当〈a，b〉＝π时，a与b方向相反；当〈a，b〉＝时，a与b互相2π垂直．反之，若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；若a⊥b，则〈a，b〉＝. 2知识点二

数量积的概念及运算律

1．已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数

量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

2．空间向量数量积的性质

(1)a⊥b⇔a·b＝0. (2)|a|2＝a·a，|a|＝a·a. a·b(3)cos〈a，b〉＝. |a||b|3．空间向量数量积的运算律

(1)(λa)·b＝λ(a·b)．

(2)a·b＝b·a(交换律)．

(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．

特别提醒：不满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．

(1)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(×) (2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(×) (3)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(√) (4)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(√)

类型一

数量积的计算

例1

如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：

→→(1)EF·BA；

→→(2)EF·BD；

→→(3)EF·DC；

→→(4)AB·CD. 考点

空间向量数量积的概念及性质

题点

用定义求数量积

→→1→→解

(1)EF·BA＝BD·BA

21→→→→＝|BD||BA|·cos〈BD，BA〉

211＝cos 60°＝. 24→→1→→1→21(2)EF·BD＝BD·BD＝|BD|＝. 222→→1→→(3)EF·DC＝BD·DC

21→→→→＝|BD|·|DC|cos〈BD，DC〉

211＝cos 120°＝－. 24→→→→→(4)AB·CD＝AB·(AD－AC) →→→→＝AB·AD－AB·AC

→→→→→→→→＝|AB||AD|cos〈AB，AD〉－|AB||AC|cos〈AB，AC〉

＝cos 60°－cos 60°＝0.

反思与感悟

(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算．

(2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算．

跟踪训练1

已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：

→-→→-→→-→(1)BC·ED1；(2)BF·AB1；(3)EF·FC1. 考点

空间向量数量积的概念及性质

题点

用定义求数量积

→→解

如图，设AB＝a，AD＝b，

-→AA1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，

a·b＝b·c＝c·a＝0. →-→(1)BC·ED1

1c－a＋b＝|b|2＝42＝16. ＝b·21→-→(2)BF·AB1＝c－a＋2b(a＋c)＝|c|2－|a|2

·＝22－22＝0. 11→-→1b＋a

(3)EF·FC1＝2c－a＋2b·211b＋a＝－1|a|2＋1|b|2＝2. ＝(－a＋b＋c)·2224类型二

利用数量积证明垂直问题

例2

(1)已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD与BC的位置关系

为_______．(填“平行”或“垂直”) 考点

空间向量数量积的应用

题点

数量积的综合应用

答案

垂直

→→→→→→解析

∵AD·BC＝(AB＋BD)·(AC－AB) →→→→→2→→＝AB·AC＋BD·AC－AB－AB·BD

→→→→→→＝AB·(AC－AB－BD)＝AB·DC＝0，

∴AD与BC垂直．

(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 考点

空间向量数量积的应用

题点

数量积的综合应用

-→-→-→证明

设A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，

则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|. -→-→→-→1→→∵A1O＝A1A＋AO＝A1A＋(AB＋AD) 211＝c＋a＋b，

22→→→BD＝AD－AB＝b－a，

→→→1→→1-→OG＝OC＋CG＝(AB＋AD)＋CC1

22111＝a＋b－c

222-→→11∴A1O·BD＝c＋2a＋2b·(b－a) 1111＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a

22221＝(b2－a2) 21＝(|b|2－|a|2)＝0. 2-→→于是A1O⊥BD，即A1O⊥BD. -→→同理可证A1O⊥OG，即A1O⊥OG. 又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面CBD，

∴A1O⊥平面GBD. 反思与感悟

(1)证明线线垂直的方法

证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．

(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法

先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0. 跟踪训练2

如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC. 考点

空间向量数量积的应用

题点

数量积的综合应用

证明

因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，

所以△OAC≌△OAB，

所以∠AOC＝∠AOB. →→→→→→→→→又OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB

→→→→＝|OA|·|OC|cos∠AOC－|OA|·|OB|cos∠AOB＝0，

→→所以OA⊥BC，即OA⊥BC. 类型三

利用数量积解决空间角或距离问题

命题角度1

解决角度问题

例3

在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝→→45°，∠OAB＝60°，求向量OA与BC所成角的余弦值．

考点

空间向量数量积的应用

题点

利用数量积求角

→→→解

∵BC＝AC－AB，

→→→→→→∴OA·BC＝OA·AC－OA·AB

→→→→→→→→＝|OA||AC|·cos〈OA，AC〉－|OA||AB|·cos〈OA，AB〉

＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162，

→→OA·BC→→∴cos〈OA，BC〉＝

→→|OA||BC|＝24－1623－22＝. 58×5反思与感悟

求两个空间向量a，b夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公式cos〈a，b〉＝a·b，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个向量的起点平移至与|a||b|另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题．

跟踪训练3

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．

考点

空间向量数量积的应用

题点

利用数量积求解

解

不妨设正方体的棱长为1，

→→-→设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，

a·b＝b·c＝c·a＝0，

-→→A1B＝a－c，AC＝a＋b. -→→∴A1B·AC＝(a－c)·(a＋b) ＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1，

-→→而|A1B|＝|AC|＝2，

-→→∴cos〈A1B，AC〉＝11＝，

2×22-→→∵〈A1B，AC〉∈(0°，180°)，

-→→∴〈A1B，AC〉＝60°. 因此，异面直线A1B与AC所成的角为60°. 命题角度2

求空间中的两点间的距离

例4

如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．

考点

空间向量数量积的应用

题点

利用数量积求线段长

→→-→解

设AB＝a，AC＝b，AA1＝c. 由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2，

且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°. →→-→-→因为EF＝EA＋AA1＋A1F

1→-→1→＝－AB＋AA1＋AC

2211＝－a＋b＋c，

22→→所以|EF|2＝EF2

111111－a·b＋b·c－a·c＝a2＋b2＋c2＋22

22244111－×2×2cos 60°＝×22＋×22＋22＋2×

444＝1＋1＋4－1＝5，

→所以|EF|＝5，即EF＝5. 反思与感悟

求解距离问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可．

跟踪训练4

在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．

考点

空间向量数量积的应用

题点

利用数量积求线段长

-→→→-→解

因为AC1＝AB＋AD＋AA1，

-→→→-→2所以AC21＝(AB＋AD＋AA1)

→→-→→→→→→→＝AB2＋AD2＋AA2AD＋AB·AA1＋AD·AA1)．

1＋2(AB·因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，

-→所以AC2＋2×3×cos 60°)＝23. 1＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°→→2因为AC21＝|AC1|，

-→所以|AC1|2＝23，

-→则|AC1|＝23，即AC1＝23.

1．对于向量a，b，c和实数λ，下列说法正确的是(

) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0

C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

考点

空间向量数量积的概念及性质

题点

数量积的性质

答案

B 解析

结合向量的运算，只有B正确．

2．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则“c·a＝0且c·b＝0”是“l⊥α”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

考点

空间向量数量积的应用

题点

数量积的综合应用

答案

B 解析

若a∥b，则不一定得到l⊥α，反之成立．

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于(

) A．97

C．61

考点

空间向量数量积的应用

题点

利用数量积求线段长

答案

C 解析

|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2

＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61，

∴|2a－3b|＝61. 4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝22，|b|＝考点

空间向量数量积的应用

题点

利用数量积求角

答案

3π

4a·b2＝－，∵〈a，b〉∈[0，π]，

|a||b|22，a·b＝－2，则〈a，b〉＝________. 2B．97 D．61 解析

cos〈a，b〉＝3π∴〈a，b〉＝. 45．已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．

考点

空间向量数量积的应用

题点

利用数量积求线段长

答案

2 →→→→→解析

|EF|2＝EF2＝(EC＋CD＋DF)2

→→→→→→→→→＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF) ＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，

→∴|EF|＝2，∴EF的长为2.

1．空间向量运算的两种方法

(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．

(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．

2．在几何体中求空间向量数量积的步骤

(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．

(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．

一、选择题

1．已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，则a＋b与a－b之间的关系是(

) A．垂直

B．共线

C．不垂直

D．以上都可能

考点

空间向量数量积的概念与性质

题点

数量积的性质

答案

A 解析

由题意知|a|＝|b|，

∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，

∴(a＋b)⊥(a－b)．

2．已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝2，且a与2b－a互相垂直，则〈a，b〉等于(A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

考点

空间向量数量积的应用

题点

利用数量积求角

答案

B 解析

根据a·(2b－a)＝0，

即2a·b＝|a|2＝4，解得a·b＝2，

又cos〈a，b〉＝a·b2|a||b|＝2×2＝22，

又〈a，b〉∈[0°，180°]，

∴〈a，b〉＝45°，故选B. 3．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则(

) A．m∥n

B．m⊥n

C．m不平行于n，m也不垂直于n

D．以上三种情况都有可能

考点

空间向量数量积的应用

题点

数量积的综合应用

答案

B

)

→→→→→4．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC一定是(

) A．直角三角形

C．等腰直角三角形

B．等腰三角形

D．等边三角形

考点

空间向量数量积的概念及性质

题点

用定义求数量积

答案

B →→→→→解析

由(DB＋DC－2DA)·(AB－AC) →→→→→→＝(DB－DA＋DC－DA)·(AB－AC) →→→→＝(AB＋AC)·(AB－AC) →→→→＝|AB|2－|AC|2＝0，得|AB|＝|AC|，

故△ABC为等腰三角形．

5．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|等于(

) A．14

B.14

C．4

D．2 考点

空间向量数量积的应用

题点

利用数量积求线段长

答案

B 解析

∵|a－2b＋3c|2＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2－4a·b＋6a·c－12b·c＝14，

∴|a－2b＋3c|＝14. 6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是(

) -→-→A.AD1·B1C

→-→C.AB·AD1

-→→B.BD1·AC

-→→D.BD1·BC

考点

空间向量数量积的概念及性质

题点

数量积的性质

答案

D 解析

选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，所以AD1⊥B1C，-→-→此时有AD1·B1C＝0；

选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，

又AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，

可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，

-→→此时BD1·AC＝0；

选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，

→-→所以AB⊥AD1，所以AB·AD1＝0，故选D. 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：

-→→→→-→-→-→-→-→①(AA1＋AD＋AB)2＝3AB2；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为60°. 其中真命题的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．0 考点

空间向量数量积的概念及性质

题点

数量积的性质

答案

B -→-→解析

①②正确；∵AD1与A1B的夹角为120°，

∴③不正确，故选B. 二、选择题

-→-→8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则A1B·B1C＝________. 考点

空间向量数量积的应用

题点

数量积的综合应用

答案

a2

-→→-→解析

如图，A1B＝AB－AA1，

-→→-→→-→B1C＝BC－BB1＝AD－AA1，

-→-→→-→→-→∴A1B·B1C＝(AB－AA1)·(AD－AA1) →→→-→-→→-→2＝AB·AD－AB·AA1－AA1·AD＋|AA1|

＝0－0－0＋a2＝a2. 9．已知空间向量a，b，|a|＝32，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．

考点

空间向量数量积的应用

题点

数量积的综合应用

3答案

－

10解析

由题意知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝32×5×－2＝－15，

2由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，

即|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0. 3解得λ＝－. 10

10．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝7，则cos〈a，b〉＝________. 考点

空间向量数量积的应用

题点

利用数量积求角

1答案

81解析

将|a－b|＝7化为(a－b)2＝7，求得a·b＝，

21再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝. 811．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________. 考点

空间向量数量积的应用

题点

利用数量积求线段长

答案

13 解析

∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2

＝1＋6×cos 60°＋9＝13，

∴|a＋3b|＝13. 三、解答题

12．在平行六面体ABCD－EFGH中，已知M，N，R分别是AB，AD，AE上的点，且AM＝1MB，AN＝ND，AR＝2RE，求平面MNR分对角线AG所得线段AP与PG的比．

2考点

空间向量数量积的应用

题点

利用数量积求线段长

→→解

如图，设AP＝mAG，

→→→→因为AG＝AB＋AD＋AE

-→→3→＝2AM＋3AN＋AR，

2→-→→所以AP＝2mAM＋3mAN＋

3→mAR，

23由于P，M，R，N共面，所以2m＋3m＋m＝1，

22AP2AP2得m＝.即＝，＝. 13AG13PG11

13．直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为棱AB，BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

考点

空间向量数量积的应用

题点

利用数量积求角

→→-→(1)证明

设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，

根据题意得|a|＝|b|＝|c|，

且a·b＝b·c＝c·a＝0，

1→∴CE＝b＋c，

211--→A′D＝－c＋b－a，

2211→--→∴CE·A′D＝－c2＋b2＝0，

22→--→∴CE⊥A′D，即CE⊥A′D. 5-→-→→(2)∵AC′＝－a＋c，|AC′|＝2|a|，|CE|＝|a|，

2→→b＋1c＝1c2＝1|a|2，

AC′·CE＝(－a＋c)·22212|a|210-→→∴cos〈AC′，CE〉＝＝，

52102×|a|2即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为四、探究与拓展

→→→→→→14．等边△ABC中，P在线段AB上，且AP＝λAB，若CP·AB＝PA·PB，则实数λ的值为________．

考点

空间向量数量积的概念及性质

题点

空间向量数量积定义

答案

1－2

210. 10

→→→→→解析

如图，CP＝－AC＋AP＝－AC＋λAB，

→→→→→故CP·AB＝(λAB－AC)·AB

→→→＝λ|AB|2－|AB||AC|cos A

→→→→→PA·PB＝(－λAB)·(1－λ)AB＝λ(λ－1)|AB|2，

1→设|AB|＝a(a＞0)，则a2λ－a2＝λ(λ－1)a2，

2解得λ＝1－22λ＝1＋舍. 2215．如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．

考点

空间向量数量积的应用

题点

利用数量积求线段长

解

由AC⊥α，可知AC⊥AB，

过点D作DD1⊥α，D1为垂足，连接BD1，

则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，

所以∠BDD1＝60°，

因为AC⊥α，DD1⊥α，

所以AC∥DD1，

→→所以〈CA，DB〉＝60°，

→→所以〈CA，BD〉＝120°. →→→→又CD＝CA＋AB＋BD，

→→→→所以|CD|2＝(CA＋AB＋BD)2

→→→→→→→→→＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2CA·BD＋2AB·BD. 因为BD⊥AB，AC⊥AB，

→→→→所以BD·AB＝0，AC·AB＝0. →→→→→→故|CD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·BD

＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625，

→所以|CD|＝25.