5.2 任意角的三角比第一课时教学实录

三角函数线及其应用

——正弦线、余弦线

执教教师：辛红卫 执教班级：罗店中学 高一（7）班

教学目标

1、在学生掌握任意角的三角比定义的基础上，通过控制变量的方法，使正弦值和余弦值的表达简化，体现出数学中的简洁美。同时，让学生初步体会在研究多变量问题时的常规方法。

2、通过师生共同探究正弦线和余弦线的作法，培养学生分析、探索、归纳的类比的能力，以及形象思维能力。初步学会运用正弦线、余弦线，解决一些简单的三角相关问题。

3、在给出新的定义（有向线段）时，让学生体会数学的科学性和实用性。

4、强化数形结合思想，发展学生思维的灵活性。

教学重点与难点

三角函数线的作法与应用

教学过程

一、复习

问题1：我们学过任意角的三角函数，用的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是如何定义的? （板书）在的终边上任取一点P(x,y)，P到原点O的距离是rx2y2(r0)，那么角的六个三角比分别是

yr sin， csc，

ryxr cos， sec，

rxyx tan， cot。

xy问题2：如果是象限角，能不能根据定义说出的各个三角比的符号规律? 问题3：可以看到，正弦值的符号取决于P的纵坐标y，余弦值的符号取决于P的横坐标x，而正切值的符号取决于x和y，那么正弦、余弦、正切的值的大小与P的位置是否有关?

师：既然三角比值与P在角的终边上的位置无关，而且，我们发现每个三角比值都等于2个量的之比。我们可以确定其中某个量，使得三角比值的表示比较简单

二、新课

1、单位圆：

问题1：确定3个量中的哪个量，可以使得α的正弦、余弦值表示最简单? 问题2：如果确定r1，的终边饶原点O从x轴正半轴开始旋转一圈，那么P会形成什么图形? 师：这个圆我们会经常用到，给它起个名字，叫单位圆，（板书）单位圆是以原点为圆心，以1为半径的圆。

2、有向线段

问题3：

如果是第一象限的角，的终边交单位圆于P，同学们能否用找到长度为sin的线段？长度为cos的线段？

（板书）

过P向x轴引垂线，垂足为M，MPsin，OMcos

问题4：

如果是第二象限的角，的终边交单位圆于P，同学们能否用找到长度为sin的线段？长度为cos的线段？

（板书）MPsin

，OMcos

?

师：由于第二象限的角的余弦值的符号为负，而线段长度的符号为正，所以，不可能找到长度为cos的线段。如果线段的长度的符号也有正负，那这个问题就可以解决了。

为了解决线段长度的符号问题，我们给出有向线段的定义。

（板书）有向线段：有方向的线段，即规定了起点和终点的线段叫做有向线段。例如：有向线段AB可表示成AB，其中A是起点，B是终点。

有向线段的符号：当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的。

如图，AB3，BA3

3、正弦线、余弦线

师：我们回到前面的问题，若是第一象限的角，MPsin，OMcos；

若是第二象限的角，同样有MPsin，OMcos，此时，OM指向x轴负方向，所以OM0

师：（板书）我们把MP叫做的正弦线，OM叫做的余弦线，正弦线和余弦线分别是的正弦、余弦值的几何形式。

问题5：如果是第三、四象限的角及坐标轴上的角，如何作出的正弦线和余弦线？

当的终边在x轴上时，M与P重合，正弦线MP0，

余弦线OM1或OM1

当的终边在y轴上时，O与M重合，正弦线MP1或MP1

余弦线OM0

4、正弦线、余弦线的应用

例1、比较下列各组数的大小：

（1）sin1和sin45 （2）cos和cos

37745；（2）cos>cos

377（由学生自己画图，从图中的三角函数线加以判断）

答案：（1）sin1

例2、根据下列三角函数值，求的取值集合

11 （2）cos

221（3）sin

25答案：（1）2k或2k,kZ

66（1）sin（2）2k,kZ

3

（3）2k62k5,kZ

6（1） （2） （3）

思考：

1、当是锐角时，如何用三角函数线来说明sin

2、当是锐角时，如何用三角函数线来说明sincos1

22

3、如何用三角函数线来说明sincos1

三、小结

单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现。我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确。

课堂教学设计说明

关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是三种函数线在同一节课交待，第二节课再讲应用；另一个设想是，第一节课只出正弦线、余弦线及它们的应用，第二节课引入正切线，及三线综合运用，如比较函数值的大小、给值求角、解简单的三角不等式。本教案选择了后者，原因是正弦线和余弦线作法有较多类似之处，而正切线的作法还需要考虑反向延长，学生不易接受和理解。在实际教学中，由于教师水平不同，学生的水平也不相同，教案中的例题可能讲不完，或根本不讲，但是宁可不讲例题，也要让学生去猜、去找三角函数的几何形式，我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，教师不能包办代替。数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透。通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图像，还有其他的表现形式。至于在解决有关三角函数的问题时用函数图像还是用是用三角函数线，则要具体情况具体分析。

教案中的三角函数线（正弦线和余弦线）应用不够全面，应在第二节课加以补充使其完整。