4.6 对数函数的图像与性质教学实录与评析

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4.6对数函数的图像与性质（一）教学目标1．知识技能（1）理解对数函数的概念.（2）掌握对数函数的性质.了解对数函数在生产实际中的简单应用.2．过程与方法（1）培养学生数学交流能力和与人合作精神.（2）用联系的观点分析问题.通过对对数函数的学习，渗透数形结合的数学思想.3．情感、态度与价值观（1）通过学习对数函数的概念、图象和性质，使学生体会知识之间的有机联系，激发学生的学习兴趣.（2）在教学过程中，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.（二）教学重点、难点1、重点：（1）对数函数的定义、图象和性质；（2）对数函数性质的初步应用.2、难点：底数a对图象的影响.（三）教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点.（四）教学过程教学教学内容

师生互动

设计意图

环节

提出师：如2.2.1的例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残师：你能据此得到此类函数的一般式吗？由实际问题引问题

留物，利用t=log57301P估算出土文物或古遗2生：y=logax.入，不仅能激发学生址的年代.根据问题的实际意义可知，对于每

1 师：这样就得到了我们生活中

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一个碳14含量P，通过对应关系t=log573012P，的又一类与指数函数有着密切关系的函数模型——对数函数.这就是我们下面将要研究的知识.的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力．

都有唯一确定的年代t与它对应，所以，t是P的函数.

概念对数函数概念掌握对数函数一般地，函数y=logax（a＞0，且a≠1）形成

叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数y=logax的定义域是（0，+∞），值域是R.概念

探究：（1）在函数的定义中，为什么要限定a＞0且a≠1．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.（2）为什么对数函数ylogax（a＞0且a≠1）的定义域是（0，+∞）．

生答：①根据对数与指数式的关系，知ylogax可化为ax，由指数的概念，要使ax有意义，必须规定a＞0且a≠1．yy②因为ylogax可化为xa，不管y取什么值，由指数函数的性质，yay＞0，所以x(0,)．

概念1. 对数函数的图象.由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的借助于计算器或计算机在同一坐标系中师：用多媒体演示函数图象，揭示函数y=2x，y=log2x图象间的关系及函数

深化

画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，探求它们之间的关系.（1）y=2x，y=log2x；

2

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1（2）y=（）x，y=log1x.22能力．

1xy=（），y=log1x图象间的关系. 22

学生讨论总结如下结论. （1）函数y=2x和y=log2x的图象关于直线y=x对称；

掌握对数函数图象特征，以及性质. 2.当a＞0，a≠1时，函数y=ax，y=logax的图象之间有什么关系？1x（2）函数y=（）和y=log1x22的图象也关于直线y=x对称. 一般地，函数y=ax和y=logax（a＞0，a≠1）的图象关于直线y=x对数函数图象有以下特征对称.

师生共同分析所画的两组函数的图象，总结归纳对数函数图象的特征，进一步推出对数函数性质.

图象的特征

（1）图象都在y轴的右边

（2）函数图象都经过（1，0）点

（3）从左往右看，当a＞1时，图象逐渐上升，当0＜a＜1时，图象逐渐下降

.

（4）当a＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0.

当0＜a＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .

对数函数有以下性质

图

象

0＜a＜1 a＞1

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定义（0，+∞）

域

值域

R （1）过定点（1，0），即x=1时，y=0 性

（2）在（0，+∞）（2）在（0，+∞）上是质

上是减函数

增函数

应用

举例

例1 求下列函数的定义域：

（1）y=logax2；

（2）y=logax1（a＞0，a≠1）.

例2 求证：函数f（x）=lg

例1分析：求函数定义域时应从哪些方面来考虑？

学生回答：①分母不能为0；②偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义. ④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0. （师生共同完成该题解答，师规范板书）

解：（1）由x2＞0，得x≠0.

∴函数y=logax2的定义域是{x|x≠0}.

（2）由题意可得x1＞0，又∵偶次根号下非负，

∴x－1＞0，即x＞1. ∴函数y=logax1（a＞0，a≠1）的定义域是{x|x＞1}. 小结：求函数的定义域的本质掌握对数函数知识的应用.

1x是奇函数. 是解不等式或不等式组. 1x

例2分析：根据函数奇偶性的定义来证明.

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例3 溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH=－lg［H+］，其中［H+］表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

（2）已知纯净水中氢离子的浓度为［H+］=10－7证明：设（fx）=lg＞0，

1x1x，由1x1x得x∈（－1，1），即函数的定义域为（－1，1），

又对于定义域（－1，1）内的任意的x，

都有f（－x）=lg=－lg1x

1x1x=－f（x），

1x1x是奇函数. 1x所以函数y=lg注意：函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定，而必须进行严格的演算才能得出正确的结论.

例3解：根据对数的运算性质，有pH=－lg［H+］

=lg［H+］1=lg－1[H]. 摩尔/升，计算纯净水的pH. 在（0，+∞）上，随着［H+］的增大，lg1[H]1[H]

课堂练习

课本第85页练习1，2. 减小，相应地，也减小，即pH减小. 所以，随着［H+］的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小. （2）当［H+］=10pH=－lg10pH是7. 事实上，食品监督监测部门检－7－7时，

，所以纯净水的

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测纯净水的质量时，需要检测很多项目，pH的检测只是其中一项.国家标准规定，饮用纯净水的pH应该在5.0～7.0之间.

课堂练习答案

1.函数y=log3x及y=log1x的图3象如图所示.

相同点：图象都在y轴的右侧，都过点（1，0）. 不同点：y=log3x的图象是上升的，y=log1x的图象是下降的. 3关系：y=log3x和y=log1x的图3象关于x轴对称. 2.（1）（－∞，1）；

（2）（0，1）∪（1，+∞）；

（3）（－∞，1）；

3（4）［1，+∞）.

归纳

总结

课后

作业：2.2 第四课时

习案

学生独立完成

巩固新知

1.对数函数的定义. 2.对数函数的图象和性质. 学生先自回顾反思，教师点评完善．

形成知识体系.

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作业

提升能力

备选例题

例1 求函数ylog(x1)(164x)的定义域. 164x0【解析】由x10，

x11x2得x1. x0∴所求函数定义域为{x| –1＜x＜0或0＜x＜2}. 【小结】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1. 例2 求函数y = log2|x|的定义域，并画出它的图象. 【解析】函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}. (x0)log2x函数解析式可化为y =，

log2(x)(x0)其图象如图所示（其特征是关于y轴对称）.

y ·

·

–2 ·

0 –1 ·

·

1

2 ·

x

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