3.2.2 直线的两点式方程教学实录及点评

§3.2.2直线的两点式方程教学设计

禄劝民族实验中学

唐宗伟

[教

材] 人教A版数学必修2：

第三章

直线与方程

3.2直线的方程第2课时

[学情分析]

我校为一所普通高中，部分学生基础较差，学生在态度习惯、知识结构、思维品质、数学能力等方面相对薄弱。

本节课是在学生学习完直线的方程第一节：直线的点斜式方程之后，学生已经建立了两种具体的直线方程：点斜式、斜截式的概念及会应用它们求直线方程，并对直线方程、方程直线的概念有了一定的理解和认识，已形成了一定的认知结构。另外对于两点确定一条直线，直线的纵截距的概念也已经明确清晰，所以对本节课的学习，学生应该具备了一定的认知和实践能力的条件。但由于部分学生观察、类比、迁移、化归、计算等方面能力的薄弱，可能在两点式方程形式的导出、综合性应用的问题上会有一定难度。

[学习内容分析] 直线方程共有四种特殊形式，本节课是学习第三、四种特殊形式，在本大节3.2直线的方程中重要性略低于前两种形式，使用频率也不高。但它在体现点斜式方程的应用，衬托点斜式方程的重要性，及为学习一般式方程作铺垫，体现由特殊到一般的知识归纳提升过程有着重要意义。

本节的主要知识点是两个方程的导出及应用，它们的教学基于点斜式方程，同时引领学生学会一个数学方法即待定系数法，说明这种方法在确定曲线方程问题中是常用的重要方法。另外把方程思想、数形结合思想贯穿于课堂教学的始终，强调解析几何的一般方法和思想。

通过对两点式、截距式方程形式美的认识，让学生感受数学的对称美、和谐美等美的特质。通过对两点式方程由分式到整式的变形，为学生了解一般式方程中系数A、B的几何意义（直线的方向向量即为（B，-A），法向量为（A，B）），为学习直线的参数方程做一铺垫。同时教给学生这个整式形式的方程是已知两点求直线方程并化为一般方程的一个小技巧，并为学生感性认识行列式为进一步学习高等数学埋下伏笔。以体现搭建共同基础，提供发展平台的课程理念。

[教学目标]

1.知识与技能：掌握直线的两点式、截距式方程并会用于求直线方程的相关问题；

2.过程与方法：理解两点式方程的导出过程，掌握求直线方程的直接法及间接法（待定系数法）；

3.态度、情感、价值观：通过对方程形式美的发现，感受数学美和数学文化，进一步体会方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。

[学习重、难点] 重点：1. 掌握直线的两点式方程及应用；2. 掌握求直线方程的两种基本方法。

难点：两点式方程的建立，待定系数法的应用，综合性问题的解决。

[教法与学法] 采用阅读－交流－展示－提升－检测等步骤，通过生生互动、师生互动等方式，还时间于学生还思维于学生，让学生经历知识概念及能力的形成过程。生、师的精讲及学生的精练，体现学生学习先行，教师断后，达到提升学生能力的目的。

基于学情，让学生先阅读本节知识并小组交流，让一名成绩较好的学生讲解两点式方程的导出过程，教师通过追问让全体学生深刻理解方程的内涵与外延。之后及时通过一定量的练习让学生掌握方程并会灵活应用。为掌握待定系数法，教师通过举例求一元一次函数解析式时可用待定系数法类比求直线方程也可以用待定系数法，并精讲求解过程让学生明确步骤，学会方法。教师通过引导学生观察、类比、归纳、化归转化、合作探究等方式，使学生转变学习方式。

[ [教学过程（含师生活动）] [复习回顾]

让学生回答上节课学习的直线方程的两种形式：点斜式及斜截式方程，并明确已知及方程适用条件。

[问题导入]

利用点斜式、斜截式可求直线方程，若不知k，只知两个点能否求直线方程呢？

例如：已知两点P1(3,5),P2(2,5),求直线方程，当两个点变成一般的两点P)x1x2,y1y2)如何得出用这两点坐标表示的直线方程呢？进而1(x1,y1),P2(x2,y2（导出新课。并展示学习目标，由一名学生到黑板上板演两点式方程及截距式方程。

[新知探究]

问题：探究在已知P)x1x2,y1y2)时，如何求直线方程？通过学生1(x1,y1),P2(x2,y2（阅读教材，由一名学生为同学们讲解方程的导出过程：

类比点斜式方程进而转化：求k变形得：

y2y1yy1代人点斜式方程：yy12(xx1)

x2x1x2x1yy1xx1

（x1x2,y1y2)

y2y1x2x1教师则进一步追问学生1、为什么要x1x2？2、为什么要y1y2？3、为什么在点斜式方程中要把y1y2除以到分母中去，进而引导学生进一步明确提升知识内涵及外延。通过小组交流讨论澄清以下易错点：

(1)这个方程由直线上两点确定；

(2)当直线斜率k不存在(即x1=x2)或k=0(即y1=y2)时,不适用(此时方程如何得到?)；

(3)形式(分式)对称，也可用变形式：

(y1y2)x(x2x1)yx1y2x2y10并问：此时x1=x2, y1=y2能否成立？

[当堂训练] 求过下列两点的直线的两点式方程，并化简整理。

（1）

P,2)

（2）A(a,0),B(0,b)

(a0,b0)

1(5,3),P2(1

这两题由学生小组抢答完成，由学生挑错，教师提醒学生注意易错点。对于第（2）题教师引导学生变形，发现另一种比较完美的直线方程形式：解题小结：

1 、解题步骤：明确条件－代入公式－化简整理；

2 、截距式方程及说明：

（1）截距式方程适用于横、纵截距都存在且都不为0（即ab≠0）的直线；

（2）形式对称与和谐的特征，并举出不是截距式方程的例子；

（3）横、纵截距a、b不是距离，可以为任意实数。

[来源:Z|xx|k.Com]

xy1，并加以总结提升。

ab两点式(截距式) 3 、四种特殊形式

：点斜式(斜截式)[能力提升]

例1

已知

ABC的顶点是

A（-5，0），B（3，-3），C（0,2），

(1)求ABC三边所在直线方程；[来源学科网Z.X.X.K]

(2)求BC边上中线所在直线方程。

由学生小组派代表板演完成，针对学生解题步骤不规范现象，教师再以求边AB、AC所在

y1



y2

)x



(x

直线方程为例做以示范，特别是用

(

x



x

x

0形式求解，让学21)y1y

22y

1生体会这种形式的简洁优美

代入公式从而有［0―（―3）］x+[3-(-5)]y+(-5)×(-3)-3×0=0即得边AB所在直线方程：3x+8y+15=0。

而且还要强调学生解解析几何题要养成先画图的习惯，指出画图可以把抽象变直观，且可以提示我们解题思路。

对于边BC、及BC边中线所在直线方程由学生独立或讨论完成，把学生的结果用视频展台展出，有问题的地方加以纠正。

例2

已知直线l过点A（1,2），且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程。

此题有难度，先由学生小组交流讨论，提出思路解法。如有困难，由教师举例：已知一元一次函数图象上两点坐标，求此函数的解析式。提示学生此类题的解法为待定系数法，进而类比得求直线方程也可用此方法。从而设方程－列方程组－解方程组－得直线方程。并提出变式问题。

变式：已知直线l过点A（1,2），且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程。此题据时间情况选做。

解题小结：

待定系数法是一种常用的求直线及曲线方程的重要方法。

[当堂检测（教学效果）］

针对学生层次分别设计出必做题（基础和能力题）和选做题（拓展题）。

[课后反思] 1、可取之处：（1）两点式方程的教学，由具体事例引入，再推广到一般情形，让学生经历知识的形成过程。

（2）变教师讲两点式方程的导出为学生讲，教师再采取追问的方式，深入挖掘内涵，使学生透过现象看到了本质。

（3）注重了数学美的挖掘，让学生感受数学的对称美和和谐美，引发学生学数学的兴趣。[来源:Zxxk.Com]

（4）注重了数学思想和方法的教学，数学思想是灵魂，数学方法是解决问题的手段。使方程思想、数形结合思想、分类讨论思想贯穿了本节课的始终。

2、不足之处：（1）学生的合作学习质量不高，针对第二个教学目标，即让学生学会一种求直线方程的间接法－待定系数法。应让学生充分交流讨论，拿出结果和同学们一起分享，

对的可以借鉴，错的吸取教训，应相信学生有这个能力通过合作学习获得成功。

（2）本节课的课堂总结及方程的适用条件的处理，不是老师直接讲而让学生去归纳效果会更好。