1.2.3 空间几何体的直观图优秀公开课教案

1.2.3

空间几何体的直观图

学习目标

1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．

知识点

斜二测画法

思考1

边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？

思考2

正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？

梳理

(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则

(2)立体图形直观图的画法规则

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度______，其他同平面图形的画法．

类型一

平面图形的直观图

例1

画出如图水平放置的直角梯形的直观图．

引申探究

例1中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？

跟踪训练1

用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．

类型二

直观图的还原与计算

命题角度1

由直观图还原平面图形

例2

如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．

跟踪训练2

如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________．

命题角度2

原图形与直观图的面积的计算

例3

如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，2A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．

3

跟踪训练3

如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是(

)

12A.

B.

C.2

D．22 22

类型三

空间几何体的直观图

例4

用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图．(尺寸自定)

跟踪训练4

用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)

1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的(

)

2．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(

)

3．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的(

) A.22倍

B．2倍

C.倍

D.2倍

424．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．

5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)

1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．

2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：

(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°. (2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．

第1课时

柱体、锥体、台体的表面积

学习目标

1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法.2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题．

知识点一

棱柱、棱锥、棱台的表面积

思考1

正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？

思考2

棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？

梳理

多面体

知识点二

圆柱、圆锥、圆台的表面积

思考1

圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？

图形

表面积

多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积

思考2

圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？

思考3

圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？

梳理

图形

表面积公式

底面积：S底＝__________ 圆柱

侧面积：S侧＝__________ 表面积：S＝__________ 底面积：S底＝__________ 圆锥

上底面面积：S上底＝__________ 圆台

类型一

棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积

例1

(1)如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°.侧棱长为b，则其侧面积为(

) 下底面面积：S下底＝__________ 侧面积：S侧＝__________ 表面积：S＝__________ 侧面积：S侧＝__________ 表面积：S＝__________ 旋

转

体

33A.ab

4C．(3＋2)ab

B.3＋2ab

223＋2D.ab

2(2)已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．

引申探究

本例(2)中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求出棱台的侧面积吗？

跟踪训练1

已知正三棱锥V－ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积．

类型二

圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积

例2

(1)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等．若圆柱的底面半径为r，圆柱的侧面积为S，则圆锥的侧面积为________．

(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________．(结果中保留π) 跟踪训练2

(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(

) 1＋2πA.

2π1＋2πC.

π1＋2πB.

4π1＋4πD.

2π(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的(

) A．4倍

C.2倍

B．3倍

D．2倍

类型三

简单组合体的表面积

例3

如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(

)

A．20π

C．28π

B．24π

D．32π

跟踪训练3

某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是________ cm2.

1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是(

) SA.

πC．2πS

B．πS

D．4πS

2．如图，已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，则正四面体D－A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是(

)

A.2

2B.3

3C.3

D.2 3．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为(

) A．100π

C．169π

B．81π

D．14π

4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．

5．直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积．

1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．

2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．

3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．

答案精析

问题导学

知识点

1思考1

A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝AD. 2思考2

没有都画成正方形．

梳理

(1)45°

135°

水平面

x′轴或y′轴的线段

保持原长度不变

一半

(2)不变

题型探究

例1

解

(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示．

1(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行2线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)．

(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)．

引申探究

解

画法：(1)如图所示，

取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. 1(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画出2C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD. (3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的

直观图．

跟踪训练1

解

(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．

(2)画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 1在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，2A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．

例2

解

①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；

②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；

③连接AB，BC，

得△ABC. 则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．

跟踪训练2

菱形

解析

如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝422＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．

例3

解

如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2. 在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.

连接BC，即得到了原图形．

由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，

2＋3所以面积为S＝×2＝5. 2跟踪训练3

C 例4

解

如图所示．

①画轴．画出x轴，y轴，z轴，使∠

xOy＝45°，∠xOz＝90°. ②画底面．画出正六边形的直观图ABCDEF. ③画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长度相等的线段AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′. ④连线成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理，就得到底面为正六边形，侧面为矩形的正六棱柱．

跟踪训练4

解

画法：

(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以1O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点，2画出B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且等于EF；③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′. (2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′. (3)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3)．

当堂训练

1．C

2.C

3.A

4.10 5．解

(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.

(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在z轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连接AA′，BB′，CC′，得正三棱台的直观图．