3.1.1 变化率问题公开课教案

3.1.1

变化率问题

3.1.2

导数的概念

[学习目标]

1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.

知识点一

函数的变化率

定义

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为

平均变化率

fx2－fx1Δy，简记作：

Δxx2－x1函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化瞬时变化率

率在Δx→0时的极限，即

Δx实例

①平均速度；②曲线割线的斜率

①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率

lim→fx0＋Δx－fx0Δy＝lim

Δx0Δx→0Δx

知识点二

函数f(x)在x＝x0处的导数

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim→Δxfx0＋Δx－fx0Δy＝lim称为函数y＝f(x)在x＝x0处的Δx0ΔxΔx→0Δx导数，记作f′(x0)或y′|xx0，即f′(x0)＝lim→

fx0＋Δx－fx0Δy＝lim. Δx0ΔxΔx→0

题型一

平均变化率

例1

已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10. (1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？

解

(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1) ＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，

∴Δy＝－4.9Δx－3.3. ΔxΔy①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；

ΔxΔy②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；

ΔxΔy③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；

ΔxΔy④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349. Δx(2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 反思与感悟

求平均变化率的主要步骤：

(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. Δyfx2－fx1(3)得平均变化率＝. Δxx2－x1跟踪训练1

求函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值. 解

函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为

2fx0＋Δx－fx0[3x0＋Δx2＋2]－3x0＋2＝

Δxx0＋Δx－x06x0·Δx＋3Δx2＝＝6x0＋3Δx. Δx当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.

题型二

物体运动的瞬时速度

例2

一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线运动，求这辆汽车

在t＝2s时的瞬时速度. 解

设在t＝2s附近的时间增量为Δt，则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. ΔsΔs因为＝8＋2Δt，lim＝lim

(8＋2Δt)＝8，

ΔtΔt→0ΔtΔt→0所以这辆汽车在t＝2s时的瞬时速度为8m/s. 反思与感悟

求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：

(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；

Δs(2)求时间t0到t0＋Δt之间的平均速度v＝，

Δt(3)求lim→ΔtΔs的值，即得t＝t0时的瞬时速度. 0Δt跟踪训练2

一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值. 解

∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1 ＝4aΔt＋a(Δt)2，

∴Δs＝4a＋aΔt. ΔtΔt在t＝2 s时，瞬时速度为lim→Δs＝4a，即4a＝8，∴a＝2. 0Δt题型三

函数在某点处的导数

例3

求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数. 解

Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1) ＝3(Δx)2＋4Δx，

2Δy3Δx＋4Δx∵＝＝3Δx＋4，

ΔxΔx∴y′|x＝1＝lim→ΔxΔy＝lim

(3Δx＋4)＝4. 0ΔxΔx→0反思与感悟

求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：

(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

Δyfx0＋Δx－fx0(2)求平均变化率＝；

ΔxΔx(3)取极限，得导数f′(x0)＝lim→ΔxΔy. 0Δx跟踪训练3

利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数. 解

由导数的定义知，函数在x＝2处的导数

f′(2)＝lim→Δxf2＋Δx－f2，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2Δx0－Δx，

－Δx2－Δx于是f′(2)＝lim＝lim

(－Δx－1)＝－1. ΔxΔx→0Δx→0

瞬时速度的求解

例4

一辆汽车按s＝3t2＋1做直线运动，求这辆车在t＝3s时的瞬时速度.(位移单位：m，时间单位：s) 分析

本题主要考查瞬时速度的求法，既可以利用逼近思想，由平均速度通过逼近得到瞬时速度；也可以利用极限思想，由平均速度通过取极限得到瞬时速度. 解

方法一

当Δt＜0时，在[3＋Δt,3]这一段时间内，

v＝s3－s3＋Δt

3－3＋Δt28－[33＋Δt2＋1]＝

－Δt－[3Δt2＋18Δt]＝

－Δt＝3Δt＋18. 当Δt＝－0.1时，v＝17.7；

当Δt＝－0.01时，v＝17.97；

当Δt＝－0.001时，v＝17.997；

当Δt＝－0.0001时，v＝17.9997；

当Δt＝－0.00001时，v＝17.99997；

当Δt＝－0.000001时，v＝17.999997；

……

由此可见，当Δt从左侧无限地逼近0时，v从18的左侧无限地靠近18. 当Δt＞0时，在[3,3＋Δt]这一段时间内，

v＝s3＋Δt－s3

3＋Δt－3

[33＋Δt2＋1]－28＝

Δt3Δt2＋18Δt＝

Δt＝3Δt＋18. 取Δt的下列值0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001，……可以得到v的值18.3,18.03,18.003,18.0003，

18.00003，……，v的值从18的右侧无限地靠近18. 综上可知，当|Δt|→0时，v无限逼近常数18. ∴这辆车在t＝3s时的瞬时速度为18m/s. 方法二

设这辆车从3s到(3＋Δt)s这一段时间内位移的增量为Δs＝3(3＋Δt)2＋1－28＝3(Δt)2＋18Δt，

2Δs3Δt＋18Δt∴＝＝3Δt＋18. ΔtΔt∴lim→ΔtΔs＝lim

(3Δt＋18)＝18. 0ΔtΔt→0∴这辆车在t＝3s时的瞬时速度为18m/s. 点评

方法二求瞬时速度的一般步骤如下：

(1)设非匀速直线运动的规律s＝s(t)；

(2)时间改变量Δt，位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；

(3)平均速度v＝Δs；

ΔtΔs→v(常数). Δt(4)瞬时速度：当Δt→0时，

1.如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在时间段[2,2.1]中相应的平均速度是(

) A.4 C.0.41 答案

B 3＋2.12－3＋22解析

v＝＝4.1. 0.1fx0＋h－fx02.函数f(x)在x0处可导，则lim(

) hh→0A.与x0、h都有关

B.仅与x0有关，而与h无关

C.仅与h有关，而与x0无关

B.4.1 D.3

D.与x0、h均无关

答案

B 3.若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(

) A.6B.18C.54D.81 答案

B 22Δs33＋Δt－3×3解析

因为＝

ΔtΔt18Δt＋3Δt2＝＝18＋3Δt，

Δt所以lim→ΔtΔs＝18. 0Δt4.若一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1. 答案

1

1422Δs7t＋Δt＋8－7t＋8解析

＝＝7Δt＋14t，

ΔtΔt1当lim

(7Δt＋14t)＝14t＝1时，t＝. 14Δt→05.已知函数f(x)＝1答案

－

2解析

f′(1)＝lim→Δx1，则f′(1)＝________. xf1＋Δx－f1

Δx01－11＋Δx＝lim

ΔxΔx→0＝lim→Δx01＝－. 21＋Δx1＋1＋Δx

－1利用导数定义求导数三步曲：

(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

Δyfx0＋Δx－fx0(2)作比求平均变化率＝；

ΔxΔx(3)取极限得导数f′(x0)＝lim→ΔxΔy. 0Δx简记为一差，二比，三极限.