小结课时教学实录

立体几何的向量法（复习课）

【教学内容解析】

空间向量是解决立体几何问题简易而又强有力的工具，是高考的常考点之一．本章在学***面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线及平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用．本节课是在完成这一章的新课学习后的一节单元复习课，是对本章所学知识进行的整理与概括，系统性较强，利于帮助学生初步形成数学结构知识，培养学生的系统性思维．同时针对学生在学习中存在的问题，确定了本节课的重点内容是掌握建立空间直角坐标系的策略和点的坐标求解的若干方法。

【教学目标】

①知识与技能：选择适当位置建立空间直角坐标系，能正确写出各点坐标；

②过程与方法：将几何体底面直观图处理为平面图形，结合平面几何知识，度量计算等方法探索和研究几何图形及其性质；

③情感态度目标：通过不同的内容联系与启发，强调空间图形平面化，数形结合，学习数学地思考问题方式，提高数学思维能力，培育理性精神。

【教学重难点】

重点：建系及通过度量和计算求出各点坐标. 难点：建系及通过度量和计算求出各点坐标. 【教学设计意图】

通过例题分析让学生比较坐标系位置的选取，掌握几何体图形化为平面图形，利用平面几何方法求出各点的坐标. 【教学过程】

一、知识与方法梳理

1.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 2.空间位置关系的向量表示

位置关系

直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2

直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m

l1∥l2

l1⊥l2

l∥α

l⊥α

向量表示

n1∥n2⇔n1＝λn2

n1⊥n2⇔n1·n2＝0

n⊥m⇔n·m＝0 n∥m⇔n＝λm

平面α，β的法向量分别为n，m

3.空间位置关系的向量表示

(1)异面直线所成的角

α∥β

α⊥β

n∥m⇔n＝λm

n⊥m⇔n·m＝0 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

范围

求法

a与b的夹角β

(0，π)

a·bcos β＝|a||b|

|a·b|cos θ＝|cos β|＝|a||b|

l1与l2所成的角θ

(2)求直线与平面所成的角

设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ|a·n|＝|cos〈a，n〉|＝|a||n|. (3)求二面角的大小

如图，n1，n2

分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).

4.

利用向量解决空间几何问题，一般分为以下几个步骤：

第一步：利用条件分析问题，建立恰当的空间坐标系。

第二步:结合建系过程与图形，准确地写出相关点的坐标。

第三步：利用点的坐标求出相关平面的法向量，若已知某直线垂直某平面，可直接取直线的一个方向向量作为该平面的法向量。

第四步：将空间关系转化为向量关系，空间角转化为向量的夹角问题去论证、求解。

第五步：结合条件与图形，作出结论（注意角的范围）。

第六步：回顾检查建系过程、坐标是否有错及是否忽视了所求角的范围而写错结论。

设计意图：作为一节复习课，在上课伊始有必要引导学生对这部分知识进行梳理，强化了学生对这部分知识理解和记忆。同时老师对知识间的易混易错点进行辨别和强调，有利于学生能对这些知识进行清晰的记忆，为接下来的解题练习做好铺垫。对用向量解决空间几何问题的方法进行小结，整理了六个解题步骤，有利于学生形成有向量解决空间几何问题的解题模板。

二、错解展示

1、投影近期阶段考试中学生出现问题

阶段考试

第19题：

如图，在三棱柱ABCA1B1C中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2AABAC120，D,D1

1，分别是线段BC,B1C1的中点，过线段AD的中点P作BC的平行线，分别交AB，AC于点M，N．

（Ⅰ）证明：MN平面ADD1A1；

（Ⅱ）求二面角AA1MN的余弦值．

C1 C N A D1 A1 B1 P D M B

设计意图：通过展示近期阶段考试中在立体几何这道题目上学生普遍出现的错误之处，跟学生一起共同寻找错因，从而发现运用向量法解决立体几何问题的常见错点是空间直角坐标系建错，或者点的坐标求错，而且这两个易错点导致了该题后续解题步骤出错，从而使得该题没能拿到多一点的分数。顺理成章地引出本节课的复习目标是如何恰当建立合适坐标系，如何正确求出空间中点的坐标。

2、提出问题

①空间直角坐标系建错或是不恰当； ②点的坐标求错； ③向量的坐标错影响法向量。

3、解决问题

求解立体几何关键几个步骤如下：（本节课主要解决第①②）

①建立恰当的坐标系； ②正确求出需要的点的坐标；

③能正确求出向量坐标；

④将几何问题代数化。

设计意图：明确本节课的复习目标，有利于学生带着目的进行学习，提高学习的效果。

三、真题回顾

投影展示近三年高考全国1卷中立体几何的题目

【2014年新课标卷1理19】如图三棱锥ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C. (Ⅰ) 证明：ACAB1；

（Ⅱ）若ACAB1，CBB160o，AB=Bc，求二面角AA1B1C1的余弦值.

【2015年新课标卷1理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。（1）证明：平面AEC⊥平面AFC （2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

[来源:学科网] [来源:学&科&网]

【2016年全国新课标Ⅰ理18】如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, AFD90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．

（I）证明：平面ABEF平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值．

DCF

【2017年全国新课标Ⅰ理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，求二面角A-PB-C的余弦值. 【2018年全国新课标Ⅰ理18】如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF. （1）证明：平面PEF平面ABFD；

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

提问：比较了近五年高考立体几何的解答题，大家可以发现有什么试题特点？

设计意图：展示近三年高考立体几何的解答题，可以看错明确高考命题的特点与规律。在近几年高考中理科在立体几何上考查突出了用空间向量方法来解决立体几何中夹角问题，突出来向量的工具性，同时经常在建系和设点上设置障碍，增加问题的难度，从而提高试题的区分度，因此如果合理建立坐标系，准确写出点的坐标就成为正确解题的关键。

四、典例剖析

例1：【2014年课标1理改编】如图三棱柱ABCA1B1C1中，

侧面BB1C1C为菱形，点A在平面BB1C1C内的正投影为

菱形BB1C1C的中心O，

若ACAB1，CBB160o，

求直线B1C1与平面AA1B1的夹角的正弦值.

设计意图：将2014年新课标1卷理科的立体几何这道高考题进行改编，主要突出了本节课的核心内容，节省上课时间，提高教学效率。同时用高考题作为背景，可激发学生学习热情，提高学生的解题能力。本例题帮助学生复习巩固用空间向量的方法来解决空间中线和面的夹角的求解。

活动设计：先留足时间让学生自己进行思考和尝试解答，然后带学生一起分析，比较不同的建系方式对求点的坐标的影响，从中归纳出合理建系的方法。同时要明确求点的坐标最终是为了求向量的坐标，而求向量的坐标除了用点的坐标来求解之外，还可以通过寻找相等向量或者向量的分解来求解。

O

解：连结BC1、CB1，则BC1CB1且BC1CB1O，

点A在平面BB1C1C内的正投影为菱形BB1C1C的中心O

AO面BB1C1C

以O为原点，分别以直线OB、OB1、OA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设OB11。ACAB1，O为B1C的中点

AOOB11

又在菱形BB1C1C中CBB160o，BO3OB13

B3,0,0，B10,1,0，A0,0,1，C13,0,0

C1B13,1,0，BA0,1,1，AABB1113,1,0

设平面AA1B1的一个法向量nx,y,z

yz0y3B1An0则由，得，令x3，则

z33xy0AA1n0n3,3,3

C1B1nC1B1n33313139921

7设直线B1C1与平面AA1B1的夹角的正弦值为

则sincosC1B1,n21

7直线B1C1与平面AA1B1的夹角的正弦值为

题后小结：

1.寻找及证明三条两两垂直的直线；

（勾股定理、三线合一、正方形、菱形对角线、线面垂直、面面垂直等）

2.建立右手系的空间直角坐标系；

3.建立坐标系时可选择尽可能多的点在坐标轴及在第一象限；

4.建系只是为了方便计算，应当以方便计算优先；

例2：【2014高考辽宁理改编】如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，

且ABBCBD2，ABC120，

AEDBC90，AE2EC， F分别为DC的中点. 求二面角EBFC的余弦值. BC

F

D

设计意图：设置一道求解二面角的例题，帮助学生复习巩固用空间向量的方法来求解二面角的方法，同时设置了面面垂直的问题情景，引导学生如何正确的建立坐标系，并能正确写出点的坐标。

活动设计：先留足时间让学生自己进行思考和尝试解答，然后让学生分组讨论，比较各自做法的优劣。最后师生共同小结归纳解题的方法和解题策略。

解：ABC和BCD所在平面互相垂直，且DBC90

以B为原点，BD、BC分别为x轴、y轴

在平面ABC内过B作BC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示。

依题意得B0,0,0，F,1,1,0，E0,1,3

33

BF1,1,0，BE0,1,3设平面BFE的一个法向量为n1x1,y1,z1

x1y10BFn0x11则由，得，令，则

z313y1z10y1BEn103n11,1,3

又易知平面BFC的一个法向量为n20,0,1

设二面角EBFC的平面角为

则coscosn1,n2n1n2n1n231131515

5又二面角EBFC为锐二面角

二面角EBFC的余弦值为

15

5

题后小结：

1.求各点坐标时可适当地将位于坐标面上的平面图形截取出来；

2.结合平面几何知识或找各点在坐标轴上的射影写出点的坐标；

3.利用共线向量或是垂直向量求点的坐标。

五、变式训练

变式：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AAC11C底面ABC，

AA1ACAC2，ABBC，O为AC中点。

1在BC1上是否存在一点E，使得OE//平面A1AB，

若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置.

解：证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，

所以A1OAC

又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，

且A1O平面AA1C1C，

所以A1O平面ABC.

如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴

建立空间直角坐标系. 由题意可知，A1AA1CAC2,

1AC1,

2所以得：Q(0,0,0),A(0,1,0),A1(0,0,3,C(0,1,0),C1(0,2,3),B(1,0,0)

又AB=BC，ABBC,OB则有：AA,3),AB(1,1,0)

1(0,1

设平面AA1B的一个法向量为n(x,y,z)，则有

y3z0nAA10,

xy0nAB03令y=1，得x1,z,

33所以n(1,1,

)

3设E(x0,y0,z0),BEBC1，

x01即(x01,y0,z0)(1,2,3),得y02

z03所以E(1,2,3),得OE(1,2,3)

令OE//平面A1AB，得OEn0,

即120,得

1,

2

即存在这样的点E，E为BC1的中点.

六、反思总结

1、建立空间坐标系的原则与策略

原则：尽量使得点在坐标轴上，尽量使得点在坐标面上，尽量使得点的坐标为正。

策略：（1）找（证）三条两两互相垂直的直线 （2）找（证）线面垂直 （3）找（证）面面垂直

2、点坐标求解方法归纳

（1）投影法

（2）共线向量法——N等分点坐标（线段上动点坐标）表示

（3）向量加减法-------线段上动点的坐标表示

（4）解向量方程组或利用相等向量

七、布置作业

练习册：第67-70页的题目