2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学目标设计

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

第2.1.4节

平面与平面之间的位置关系

平面与平面的位置关系是高考重点考查内容之一，解决问题的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与平面．通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的思想，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力．

教学目标

核心素养

1．了解两个平面的两种位置关系：相交和平1.直观想象

了解两个平面的两种位置关行；

系：相交和平行；

2．在引导学生观察、分析、抽象、类比得出2.数学抽象

引导学生观察、分析、抽象、空间两个平面位置关系的过程中，努力渗透数学思想及辨证唯物主义观念．

1. 理解两个平面的两种位置关系；

2. 能运用两个平面的位置关系解决一些简单问题

一、问题情境

前面我们研究了空间直线与直线、直线与平面的位置关系，其间也常常

涉及两个平面的位置关系．

两个平面之间有哪些关系呢？如何判定？

二、学生活动

利用手中的两本书作为两个平面，探究两个平面的位置关系．

观察教室的四个平面间的关系，得到两个平面的位置关系，思考问题．

三、建构数学[来源学科网]类比得出空间两个平面位置关系

1．面面平行的定义：

如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．[来源学科网]

如果两个平面有一个公共点，由公理2可知，那么它们相交于经过这个点的一条直线，

此时我们说两平面相交．

2．两平面的位置关系有以下两种：

（1）相交：两平面有一条公共直线

（2）

平行：两平面没有公共点

活动一

空间平面和平面的位置关系的判断

例1

在以下三个命题中，正确的命题是(

)[来源:Zxxk.Com]

①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交．

A．①②

B．②③

C．③

D．①③

答案

C 解析

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题②错．命题③是正确的，故选C.

总结

利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法．

变式训练

(1)一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面(

) A．平行

C．平行或重合

答案

D 解析

当三点在平面α的同侧时，如图1所示，由点A，B，C到平面α的距离相等，设到B．相交

D．平行或相交

α的点为D，E，F，则有构成三个长方形ABED，BCFE，CADF，于是就有AB∥DE，BC∥EF，因为两相交直线平行，所以α∥β.当三点在平面β的异侧时，如图2所示也成立．

(2)已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．

其中正确命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 答案

B[来源:Z。xx。k.Com]

解析

①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．

活动二

两平面位置关系的作图

例2

(1)画出两平行平面；

(2)画出两相交平面．[来源:Z.xx.k.Com]

解

两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图a所示．

两个相交平面的画法：第一步，先画表示平面的平行四边形的相交两边，如图b所示；第二步，再画出表示两个平面交线的线段，如图c所示；第三步，过b中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图c中表示交线的线段，如图d所示；第四步，画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线，也可不画)，如图e所示．

引申探究

在图中画出一个平面与两个平行平面相交．

解

变式训练

试画出相交于一点的三个平面．

解

如图所示(不唯一)．