2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学设计模板

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

教学目标：

1．理解掌握空间点、直线、平面之间的位置关系．

2．熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题．

3．通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力，学会用数学方法认识世界改造世界．

教学重点：总结证明平行问题和证明垂直问题的方法。

教学难点：总结求二面角的方法。

教学过程：

一、知识结构

平面（公理1、公理2、公理

3、公理4）

空间直线、平面的位置关系

----------------------------------------------------- 直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

---------------------------------------------

（平行）

判定 性质

1

直线与平面平行 平面与平面平行 直线与平面平行 平面与平面平行

=--------------------------------------- 判定

性质

（垂直）

-------------------------- --------------------------------- 直线与平面垂直

平面与平面垂直

直线与平面垂直

二、典例解析：

例1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C。

解析：

（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是。

（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF。

（3）为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线。

猜想A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O+OF=A1FA1O⊥OF。

（4）∵ CC1⊥平面AC ∴ CC1⊥BD 又BD⊥AC ∴ BD⊥平面AA1C 又BD平面BDF ∴

平面BDF⊥平面AA1C 评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路

例2．如图，三棱锥D—ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC= ∠BAD=90，其腰BC=a，且二面角D—AB—C=60。

（1）求异面直线DA与BC所成的角；

（2）求异面直线BD与AC所成角的余弦值；

解析：

（1）在平面ABC内作AE∥BC，从而得∠DAE=60

∴ DA与BC成60角

2 0000222平面与平面垂直

（2）过B作BF∥AC，交EA延长线于F，则∠DBF为BD与AC所成的角

由△DAF易得AF=a，DA=a，∠DAF=120

∴ DF=a+a-2a·(

∴ DF=3a △DBF中，BF=AC=2a ∴ cos∠DBF=1

41

42222012)=3a

2∴

异面直线BD与AC成角的余弦值为例３．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成45角，求此三棱柱的侧面积和体积。

解析：

在侧面AB’内作BD⊥AA’于D 连结CD ∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=45

∴

△DAB≌△DAC ∴

∠CDA=∠BDA=90，BD=CD ∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’

∴

△DBC是斜三棱柱的直截面

在Rt△ADB中，BD=AB·sin45=00002a

2a2∴

△DBC的周长=BD+CD+BC=(2+1)a，△DBC的面积=

4∴ S侧=b(BD+DC+BC)=(2+1)ab a2b∴ V=SDBC·AA’=

4评注：求斜棱柱的侧面积有两种方法，一是判断各侧面的形状，求各侧面的面积之和，二是求直截面的周长与侧棱的乘积，求体积时同样可以利用直截面，即V=直截面面积×侧棱长。

例４．在三棱锥P—ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积VP-ABC。

解析：

取PC和AB的中点M和N ∴

VPABCVPAMBVCAMB22221PCSAMB

3在△AMB中，AM=BM=17-8=25×9 ∴ AM=BM=15cm，MN=15-9=24×6

3 222

∴ S△AMB=11123×AB×MN=×18×12=108(cm)∴ VP-ABC=×16×108=576(cm) 223评注：把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法，这样分割的结果，一方面便于求体积，另一方面便于利用体积的相关性质，如等底等高的锥体的体积相等，等底的两个锥体的体积的比等

三．课堂练习

1．一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是(

) A．1个

C．1个或3个

B．3个

D．1个或3个或4个

解析：当A、B、C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A、B、C共线且与l异面时，可确定3个平面；当A、B、C三点不共线时，可确定4个平面．

答案：D

2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是(

)

A．5

C．10

B．8 D．6 解析：这些直角三角形是：△PAB，△PAD，△PAC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个．

答案：B

3．如右上图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM(

) A．与AC、MN均垂直相交

B．与AC垂直，与MN不垂直

C．与MN垂直，与AC不垂直

4

D．与AC、MN均不垂直

解析：易证AC⊥面BB1D1D，OM⊂面BB1D1D，∴AC⊥OM.计算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN. 答案：A 4、已知A、B、C、D为空间四个点，且A、B、C、D不共面，则直线AB与CD的位置关系是________．

解析：如图所示：由图知，AB与CD为异面直线．

答案：异面

5、如下图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：

(1)BD与CD的关系为________．

(2)∠BAC＝________. 解析：(1)AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD⊥AD，CD⊥AD，

∴∠BDC为二面角的平面角，∠BDC＝90°，

∴BD⊥DC. (2)设等腰直角三角形的直角边长为a，则斜边长为2a. ∴BD＝CD＝2a. 2∴折叠后BC＝2a2＋2a2＝a. 22∴折叠后△ABC为等边三角形．∴∠BAC＝60°. 答案：(1)BD⊥CD

(2)60°

6、如下图，已知ABCD是矩形，E是以CD为直径的半圆周上一点，且面CDE⊥面ABCD.

求证：CE⊥平面ADE.

5

面ABCD⊥面CED

证明：ABCD为矩形

点E在直径为CD的半圆上⇒CE⊥ED

又AD∩ED＝D⇒AD⊥面CDE⇒AD⊥CE⇒CE⊥面ADE. 7、已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a，如3图．

(1)求证：MN∥面BB1C1C；

(2)求MN的长．

解：(1)证明：作NP⊥AB于P，连接MP.NP∥BC，

∴APANAB＝A1MAC＝A，

1B∴MP∥AA1∥BB1，

∴面MPN∥面BB1C1C. MN⊂面MPN，

∴MN∥面BB1C1C. 2(2)NP＝AN3a11BCAC＝2a＝3，NP＝3a，

同理MP＝23a. 又MP∥BB1，

∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN. 在Rt△MPN中MN＝49a2＋1259a＝3a.

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四、课堂小结：１．复习巩固．２．规律总结．３．思想升华．

五、作业

教材P78复习参考题

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