1.2.1 充分条件与必要条件名师教学设计2

§1.2.1 充分条件与必要条件

教学目标：

1.理解推断符号“”的含义。

2.理解掌握充分条件、必要条件的意义及应用。

3.培养学生的逻辑推理能力。

教学重点：

充分条件、必要条件的判断。

教学难点：

理解充分条件、必要条件的判断方法。

教具准备：

多媒体教案。

教学过程：

一、

复习回顾

1、

命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q。

2、

四种命题及相互关系：

原命题

逆命题

互

逆

若p则q 若q则p

否

互

为

逆

互

互

否

否

逆

为

否

互

否命题

逆否命题

互

逆

若p则q

若q则p

3.前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假：

（1）若a>b,则ac>bc; (2)若a>b,则a+c>b+c; 2(3)若x≥0,则x≥0; (4)若两三角形全等，则两三角形的面积相等。

答：命题（1）为假；命题（2）、（3）、（4）为真。

本节将在判断“若 p则q”命题的真假的基础上，研究p是q成立的充分条件还是必要条件问题。

二、新课

§1.8.1 充分条件与必要条件

1.推断符号“”的含义：

例如命题（2）、（3）、（4）为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”。

- 1 -

又例如命题（1）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“p q”。

请同学用推断符号“”写出上述命题。

答：（1）a>bac>bc；

(2)a>ba+c>b+c；

2(3)x≥0x≥0； （4）两三角形全等两三角形面积相等。

2.充分条件与必要条件

下面给出充分条件与必要条件的定义。

一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。

由上述定义中，“pq”即如果具备了条件p，就足以保证q成立，所以p是q的充分条件，这点容易理解。但同时说q是p的必要条件是为什么呢？请同学们讨论。

（不很理解的较多，特别是q是结论，怎么又变为条件呢？）

应注意条件和结论是相对而言的。由“pq”等价命题是“┐q┐p”，即若q不成立，则p就不成立，故q就是p成立的必要条件了。但还必须注意，q成立时，p可能成立，也可能不成立，即q成立不保证p一定成立。

回答上述问题（2）、（3）、（4）中的条件关系。

（2）中：“a>b”是“a+c>b+c”的充分条件；“a+c>b+c”是“a>c”的必要条件。

22（3）中：“x≥0”是“x≥0”的充分条件；“x≥0”是“x≥0”的必要条件。

（4）中：“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件。

“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件。

3.从集合角度理解：

①pq，相当于PQ，即 P Q 或 P、Q 即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了——有它就行。

②qp，相当于PQ，即 Q P 或 P、Q 即：为使x∈Q成立，必须要使x∈P——缺它不行。

qp等价于pq。

*（下一课时）③pq，相当于P=Q，即 P 、Q 即：互为充要的两个条件刻划的是——同一事物。

例：指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

（1）p：x=y；q：x=y; (2)p:三角形的三条边相等；q:三角形的三个角相等；

2（3）p：x=1或x=2,q:x-3x+2=0；

3x(4) p：x=2或x=3,q:x-3= . 答：（1）因x=yx=y,即pq.所以p是q的充分条件，q是p的必要条件。

（2）因三角形的三条边相等三角形的三个角相等，即pq。

所以p是q的充分条件，q是p的必要条件。

又因：三角形的三个角相等三角形的三条边相等，即qp。

则q也是p的充分条件，p也是q的必要条件。

- 2 - 2222

（3）因x=1或x=2x-3x+2=0,即pq。

则p是q的充分条件，q是p的必要条件。

又因x-3x+2=0x=1或x=2. 则q也是p的充分条件，p也是q的必要条件。

3x（4）因x=2或x=3x-3= ,但x-3= x=2或x=3. 3x即p q，而qp。所以q是p的充分条件，p是q的必要条件。

由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定：命题按条件和结论的充分性、必要性可分为几类？请同学讨论。

可分为四类：（1）充分不必要条件，即pq,而q p;(2)必要不充分条件，即pq,而p q;(3)既充分又必要条件，即pq，又有qp;(4)既不充分也不必要条件，即p q，又有q p。

22*4、探讨下列生活中名言名句的充要关系。

（1）水滴石穿 （2）骄兵必败 （3）有志者事竞成 （4）头发长，见识短 （5）名师出高徒 （6）放下屠刀，立地成佛 （7）兔子尾巴长不了 （8）不到长城非好汉 （9）春回大地，万物复苏 （10）海内存知己 （11）蜡炬成灰泪始干 （12）玉不琢，不成器

说明：由于生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维”

。

三、课堂练习：课本P35 1、2题

补充：判断下列问题中，p是q成立的什么条件？

p q （1）x2>1 x<-1 （2）|x-2|<3 -x2+4x+5>0 （3）xy≠0 x≠0或y≠0 解：（1）p

q，qp （2）pq

（3）pq，q p (原问题x0且y0，则xy0。)  2、判别步骤

（1）认清条件和结论。（2）考察pq和qp的真假。

- 3 -

3、判别技巧

（1）可先简化命题。

（2）否定一个命题只要举出一个反例即可。

（3）可将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

四、课时小结：

推断符号，本节课主要研究了三点内容：充分条件的意必要性的判断。

必要条件的意

义 命题充分性、义

1、定义：

如果已知pq，则说p是q的充分条件。

如果已知qp，则说p是q的必要条件。

如果既有pq，又有qp，就记作pq，则说p是q的充要条件。

2、从集合角度理解：

①pq，相当于PQ，即 P Q 或 P、Q 即：要使x∈Q成立，只要x∈P就足够了——有它就行。

②qp，相当于PQ，即 Q P 或 P、Q 即：为使x∈Q成立，必须要使x∈P——缺它不行。

qp等价于pq。

*③pq，相当于P=Q，即 P 、Q 即：互为充要的两个条件刻划的是——同一事物。

四、课后作业

1.书面作业：课本P36，习题1.8:1（1）、（2）；2：（1）、（2）、（3）。

2、写出生活中有四种关系的名言名句各1句。

3、名句探微——名言名句充要关系之剖析。（500字左右）

4.预习：下节内容，预习提纲：

（1）充分必要条件的意义是什么？

（2）怎样判断命题的充要条件？

五、板书设计

§1.8.1 充分条件与必要条件

1.推断符号“”的含义。

2.充分条件与必要条件的意义。

小结：（略）

六、教学后记

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