2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系第一课时教学实录

2.3.3 直线与平面垂直的性质

教学目标

1.知识与技能：

（1）理解并掌握直线与平面垂直的定义和性质定理；能对定义与性质定理进行简单应用

；

（2）通过对定义和性质定理的探究和运用，初步培养学生的几何直观能力和抽象概括能力；

（3）通过对探究过程的引导，努力提高学生学习数学的热情,培养学生主动探究的习惯. 2.过程与方法：经历位置关系判断的推导过程，体验由特殊到一般、数形结合的数学思想方法。使学生初步学会把一些实际问题转化为直线和平面的问题,关键是要使该问题是否满足直线和平面垂直的性质定理，培养学生分析问题、解决问题的能力

3.情感态度价值观：

（1）空间教学的核心问题是让学生了解平面的特征，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想

重点难点

1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面的定义和性质定理的过程及初步应用；

2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面的定义和性质定理的过程. 教学过程：

复习

直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：

图1 如图1，表示方法为：a⊥α. 由直线与平面垂直的定义不难得出：导入新课

- 1 - ab⊥a.

b

如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？

图2 提出问题

①回忆空间两直线平行的定义. ②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？

③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理. ⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？

讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法. ②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.

图3 ③如图4，长方体ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？

图4 图5

棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD，它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：

垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行. a直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：b∥a.

b直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5.

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⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系. 应用示例

例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知a⊥α,b⊥α. 求证：a∥b.

图6 证明：（反证法）如图6，假定a与b不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O∈b′,a∥b′.

直线b′与直线b确定平面β，设α∩β=c,则O∈c. ∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.

∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β, a∥b′显然不可能，因此b∥a. 例2 如图7，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,aα,a⊥AB.

求证:a∥l.

图7 EA,EBlEA证明：l⊥平面EAB. llEB又∵aα,EA⊥α,∴a⊥EA.

又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB. ∴a∥l.

例2 如图8,已知直线a⊥b，b⊥α，aα. 求证：a∥α.

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图8

证明：在直线a上取一点A，过A作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B，过相交直线a、b′作平面β，设α∩β=a′, ∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b, ∴b′⊥α. 又∵a′α,∴b′⊥a′.

由a，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α. 例3 如图9，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. （1）求证：MN⊥CD；

（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.

图9 证明：(1)取PD中点E,又N为PC中点,连接NE,则NE∥CD,NE=12CD. 又∵AM∥CD,AM=12CD, ∴AMNE. ∴四边形AMNE为平行四边形. ∴MN∥AE.

PA平面ABCD∵CD平面ABCDCDPACDADCD平面ADPCD⊥AE.

AE平面ADP(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD为等腰直角三角形, 则AE⊥PD.又MN∥AE, ∴MN⊥PD,PD∩CD=D.

∴MN⊥平面PCD.

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变式训练

已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和平面α相交，并且和a、b、c三条直线成等角.求证：l⊥α. 证明：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO=BO=CO.设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，

∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，

∴△POA≌△POB≌△POC.

∴PA=PB=PC.取AB的中点D, 连接OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB. ∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD. ∵PO平面POD,∴PO⊥AB. 同理,可证PO⊥BC. ∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α. 若l不经过点O时，可经过点O作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α，

∴l⊥α. 课堂练习：

1．若a,b,c表示直线，表示平面，下列条件中，能使a的是 （ ）

(A)ab,ac,b,c (B)ab,b//

(C)abA,b,ab (D)a//b,b 2．已知l与m是两条不同的直线，若直线l平面，①若直线ml，则m//；②若m，则m//l；③若m，则ml；④m//l，则m。上述判断正确的是 （ ）

(A)①②③ (B)②③④ (C)①③④ (D)②④

3．在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有ACB1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

14、如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90,AC1,CB2，侧棱AA11，侧面AA1B1B的两条对角线交于点D，B1C1的中点为M，

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求证：CD平面BDM

课堂小结

知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等. 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业

课本习题2.3 B 组1、2.

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