1.1.2 简单组合体的结构特征优秀教学设计

高考中与球有关的组合体问题学案

一、全国卷考点

16年

Ⅰ

7/8球的表面积

Ⅱ

正方体外接球

Ⅲ

直三棱柱内切球

15年

Ⅰ

组合体体积

13年

Ⅰ

球的性质

12年

11年

10年

Ⅰ

球的

性质

Ⅰ

球Ⅰ

三棱的

性质

柱外接球

08 Ⅰ

六棱柱外接球

Ⅱ

球与三棱锥

Ⅱ

球的性质

二、考点分析及应对策略

1.球的有关性质

性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆；

性质2：球心和不过球心的截面圆心的连线垂直于截面；反之，球心在截面上的射影是截面的圆心；

性质3：球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.

性质4：球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：rR2d2

2.与球有关的组合体问题——内切、外接

．．．．．

解决方法：认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素之间的数量关系、并作出合适的截面图

2.1内切——关键是抓住相切时的实质：球心到切点的距离等于球的半径

．．

几个常用结论：若正方体的棱长为a,球的半径为R. （1）正方体的外接球，则2R3a；

（2）正方的内切球，则2Ra；

（3）球与正方体个棱相切，则2R2a；

（4）正四面体的外接球与内切球的半径之比为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3:1.

2.2外接——关键是抓住相接时的特征：球心到接点（多面体）的顶点的距离等于球半径

．．几个常用模型：

（1）设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c，外接球的半径为：2R（2）直棱柱的外接球半径公式：Rr()

（3）截面圆法求外接球半径：R做有心人：

常见补成正方体、长方体的情况：

常见补成柱体的情况：

222a2b2c2

h22r2(Rh)2

常用截面圆半径r的计算方法：

3.思考：

正方体、长方体当中有哪些三棱锥？四棱锥？

三、课前自测

球的表面积体积公式

1.（2016·全国卷Ⅰ）如图1-1，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相28π垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(

) 3

A．17π

B．18π

C．20π

D．28π

球的性质

2.（2012·全国卷Ⅱ）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为

（

）

（A）6π

（B）43π

（C）46π

（D）63π

3.（2013·全国卷Ⅰ）已知H是球O的直径AB上一点，AH:HB1:2，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为_______.

球与三棱锥

4.（2015·全国卷Ⅱ）已知A,B是球O的球面上两点，AOB90,C为该球面上动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（

）

A. 36π B. 64π C. 144π D.256π

内切球问题

5.（2016·全国卷Ⅲ）在封闭的直三棱柱ABC -

A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(

) 9π32πA．4π

B.

C．6π

D.

23

外接球问题

6.（2016·全国卷Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(

) 32A．12π

B.3π

C．8π

D．4π

7.（2010·全国卷Ⅰ）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(

) A．πa

2

72B.3πa

1122

C.3πa

D．5πa

8.（2008·全国卷Ⅰ）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为

_________

四、例题

1.S、A、B、C在半径为2的同一球面上，点S到平面ABC距离为则点S与ABC中心的距离为（

）

1，AB=BC=CA=3, 21A.3

B.2

C.1

D.

2

2.在四面体SABC中，ABBC，ABBC2,SASC2,SB外接球的表面积是（

）

6,则该四面体A.86

B.6

C.24

D.6

3.在体积为4的三棱锥SABC中，ABBC2，ABC90，SASC,且平面3平面SAC平面ABC.若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球体积为（

）

A.92782

B.

C.

D.12

223

4.四面体的一条侧棱长为C,其余棱长为3，当该四面体体积最大值时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（

）

A.

27915

B.

C.

D.15

222

三、课后练习

1.（2013·全国卷Ⅱ）已知正四棱锥O－ABCD的体积为OA为半径的球的表面积为__________．

2.（2011·全国卷Ⅰ）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的者的高的比值为________．

3.如图，直三棱柱

的六个顶点都在半径为

的半球面上，

，侧面

是半球底面圆的内接正方形，则侧面

的面积为（

）

32，底面边长为3，则以O为球心，23，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大16A.

B.

C.

D.

4.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为4，PA=PD=13,侧面PAD底面ABCD，在四棱锥内放一个球，要使球的体积最大，则球的半径为

. 6.球面上有（ ）

四个点，若两两互相垂直，且.则球的表面积为A.

B.

C.

D.

，且平面7.四面体平面A.

B. 的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（ ）

C.

D.

8..已知边长为23的菱形ABCD中，BAD60，沿对角线BD折成二面角ABDC为120的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（ ）

A．25 B．26 C．27 D．28

9..平行四边形CD中，D0，沿D将四边形折起成直二面角DC，且2D4，则三棱锥CD的外接球的表面积为（ ）

A．

22 B． C．4 D．2

24