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2018年线面、面面平行大题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC.

2．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，

BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；

（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为7，求线段AH的长. 21

3．如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，

ABBC1AD,BADABC900. 2（1）证明：直线BC//平面PAD；

0,0

（2）若PCD的面积为27，求四棱锥PABCD的体积；

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4．如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点. （1）证明：直线

平面PAB

，求二面角M-AB-D的余弦值

（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为

5．由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1- B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD （1）证明：

AO1∥平面B1CD1; （2）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1.

6．BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，为PD的中点. （I）证明：CE∥平面PAB；

（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，平面PPD//平面MAC，PA=PD=6，AB=4．

（I）求证：M为PB的中点；

（II）求二面角B-PD-A的大小；

（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

8．如图，在矩形点．

(1) 当是(2) 当中，，平面，分别为的中点，点是上一个动中点时，求证:平面时，求的值．

平面；

9．

如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，

PA＝AB＝BC＝CD＝2，PD＝2，PA⊥PD，Q为PD的中点. （Ⅰ）证明：CQ∥平面PAB；

（Ⅱ）求三棱锥Q-ACD的体积。

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10．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，

DAB60，

PD平面ABCD，

PDAD1，点E,F分别为AB和PC的中点，连接EF,BF. （1）求证：直线EF//平面PAD；

（2）求三棱锥FPEB的体积.

11．已知四棱锥SABCD的底面为平行四边形，且SD面ABCD，AB2AD2SD,DCB60, M,N分别为SB,SC中点，过MN作平面MNPQ分别与线段CD,AB相交于点P,Q. （Ⅰ）在图中作出平面MNPQ，使面MNPQ‖面SAD

(不要求证明）；

（II）若AQAB，是否存在实数，使二面角MPQB的平面角大小为60？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

12．如图，四棱锥，，中，底面是平行四边形，且平面．

平面，为的中点，

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面

．

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参考答案

1．证明：（1）在平面ABD内，因为AB⊥AD，

EFAD，所以EFAB.

又因为EF平面ABC，

AB平面ABC，所以EF∥平面ABC. （2）因为平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD平面BCD=BD，

BC平面BCD，

BCBD，

所以BC平面ABD. 因为AD平面ABD，所以BC

AD. 又AB⊥AD，

BCABB，

AB平面ABC，

BC平面ABC，

所以AD⊥平面ABC，

又因为AC平面ABC，

所以AD⊥AC. 2．解：如图，以A为原点，分别以AB，

AC，

AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.

（Ⅰ）证明：

DE=（0，2，0），DB=（2，0，

2）.设nx,y,z，为平面BDE的法向量，

则{nDE0nDB0

，即{2y02x2z0

.不妨设z1，2，

1）可得n1,0,1.又MN=（1，，可得MNn0. 因为MN平面BDE，所以MN//平面BDE. （Ⅱ）解：易知n11,0,0为平面CEM的一个法向量.设n2x,y,z为平面EMN的法向量，则{n2EM0n2MN0

，因为EM0,2,1，

MN1,2,1，所以{2yz0x2yz0

.不妨设y1，可得n24,1,2. 因此有cosn1,n2n1n24105. ，于是sinn1,n2n1n22121105. 21第5页，总12页

所以，二面角C—EM—N的正弦值为

0，h）

BE2,2,2.（Ⅲ）解：依题意，设AH=h（0h4），则H（0，，进而可得NH1,2,h，由已知，得cosNH,BENHBENHBE2h2h252378，整理得10h221h80，解得h，521或h1. 281或. 52内，因为平面故平面

,所以

所以，线段AH的长为3．证明：（1）

在平面又

（2）取由得四边形因为侧面所以因为设底面，则的中点，连接及平面

. 为正方形，则为等边三角形且垂直于底面底面，所以

, ，平面平面，

，取的中点，连接，则,所以，

因为解得于是所以四棱锥的面积为（舍去），，所以

的体积，

4．证明：（1）取因为为所以又（2）

中点，连结，．

,,由．

得，又

的中点，所以．四边形，为平行四边形，

，故第6页，总12页

由已知得系A-xyz,则

则,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标，,，则

，，

因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而，即（x-1）²+y²-z²=0 又M在棱PC上，学|科网设

是底面ABCD的法向量，所以

由①，②得

所以M，从而

设是平面ABM的法向量，则

所以可取m=（0，-，2）.于是

因此二面角M-AB-D的余弦值为

5．证明：（1）取B1D1中点O1，连接CO1,AO11，由于ABCDA1BC11D1为四棱柱，

所以AO11//CO,AO11=CO，

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因此四边形AOCO11为平行四边形，

//O1C，

所以AO1平面B1CD1，

又O1C平面B1CD1，

AO1所以AO1//平面B1CD1

（2）因为

ACBD,E,M分别为AD和OD的中点，

所以EMBD, 又

A1E面ABCD，

BD平面ABCD

所以A1EBD,

因为

B1D1//BD

所以EMB1D1，A1EB1D1

又

A1E, EM 平面A1EM,A1EEME

所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1，

所以

平面A1EM平面B1CD1

6．证明：

（Ⅰ）如图，设PA中点为F，连接EF，FB．

因为E，F分别为PD，PA中点，所以EF//AD且EF又因为BC//AD，

BC1AD，

21AD，所以EF//BC且EFBC，

2即四边形BCEF为平行四边形，所以CE//BF，

因此CE//平面PAB．

（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N．连接PN交EF于点Q，连接MQ．

因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，

在平行四边形BCEF中，MQ//CE．

由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD．

由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD．

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所以AD⊥平面PBN，

由BC//AD得BC⊥平面PBN，

那么平面PBC⊥平面PBN．

过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH．

MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．

设CD=1．

在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=2得CE=2，

在△PBN中，由PN=BN=1，PB=3得QH=在Rt△MQH中，QH=1，

41，MQ=2，

4所以sin∠QMH=2，

8

所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是2．

87．证明：（I）设AC,BD交点为E，连接ME. 因为PD平面MAC，平面MAC平面PBDME，所以PDME. 因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的中点.

（II）取AD的中点O，连接OP，

OE. 因为PAPD，所以OPAD. 又因为平面PAD平面ABCD，且OP平面PAD，所以OP平面ABCD. 因为OE平面ABCD，所以OPOE. 因为ABCD是正方形，所以OEAD. 如图建立空间直角坐标系Oxyz，则P0,0,2，

D2,0,0，

B2,4,0，

BD4,4,0，

PD2,0,2. 设平面BDP的法向量为nx,y,z，则{令x1，则y1，

znBD0nPD0

，即{4x4y02x2z0

. 2.于是n1,1,2. np1. np2平面PAD的法向量为p0,1,0，所以cosn,p第9页，总12页

由题知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为

（III）由题意知M1,2,. 322MC3,2,D2,4,0

. ，，22设直线MC与平面BDP所成角为，则sincosn,MCnMCnMC26. 9所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为8．证明：（1）∵26. 9分别是矩形的对边的中点，

∴，∴四边形是平行四边形，∴．

又平面，平面，∴平面，

又是中点，∴，

∵平面，平面，∴平面，

∵，平面，∴平面平面．

（2）连接，∵平面，平面，∴．

∵，，平面，∴平面，

∵平面，∴，

在矩形中，由得与相似，∴，

又，∴，∴

9．（Ⅰ）证明：

如图所示，取PA的中点N，连接QN，BN. 在△PAD中，PN＝NA，PQ＝QD，

所以QN∥AD，且QN＝AD. 在△APD中，PA＝2，PD＝2所以AD＝，PA⊥PD，

＝4，而BC＝2，所以BC＝AD.

又BC∥AD，所以QN∥BC，且QN＝BC，

故四边形BCQN为平行四边形，所以BN∥CQ. 又BN⊂平面PAB，且CQ平面PAB,

所以CQ∥平面PAB. （Ⅱ）V=1 10．（1）证明：作FM//CD交PD于M，连接AM. 1CD. 21∵点E为AB的中点，∴AEABFM. 2又AE//FM，∴四边形AEFM为平行四边形，∴EF//AM，

∴直线EF//平面PAD. ∵点F为PC中点，∴FM

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1

AD1，

DEAB，，由余弦定理，得：又AB//DC则DEDC21设F到面BEC的距离为h，∵点F为PC的中点，∴hPD，

2111从而有VFPBEVPBEF

VPBECVFBEC

SBEC•PDh

SBEC·PD

332

AE（2）已知DAB60，111313. •••••1=3222248

11．（Ⅰ）如图，

Q是AB的中点（若NP.PQ未作成虚线，扣两分）

（Ⅱ）在ABCD中，

设AB2AD=4,DCB60,所以由余弦定理求得BD23,有AB2AD2BD2，所以ADBD，以D为原点，直线DA为x轴，直线DB为y轴，直线DS为z轴建立空间直角坐标系，且A2,0,0,B0,23,0,S0,0,2,M0,3,1，又AQAB，设Qx,y,z，则x2,y,z2,23,0即Q22,23,0

设平面的法向量为nx,y,z由{n·AD0n·MQ0得n0,1,321，易知面ABCD的法向量为m0,0,1

m·n321112或

要使二面角MPQB为60，则有cos60解得22mn331321由图可知，要使二面角MPQB为60，则12．证明：（Ⅰ）连接，交于点，连接∵底面是平行四边形，∴为中点，

又为中点，∴，

又平面，平面，

∴平面．

（Ⅱ）∵，为中点，∴，

又平面平面，平面平面∴平面，又平面，

∴．

，

1

3，平面，

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在∴中，，，

，

∴又又

平面平面，∴，平面，∴平面．

，平面，∴．

平面，

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