习题1.2优质课教案整理

外接球典例分析

类型一、墙角模型（三条线段两两互相垂直）

方法：找到三条两两垂直的线段，还原到内接矩形中2R类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

a2b2c2。

题设：PA平面ABC

第一步：将平面ABC花在小圆面上，A为小截面圆直径一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O。

第二步：H为ABC的外心，所以OH平面ABC，算出小圆面的半径HDr，OH1PA

2

第三步：勾股定理R

r2OH2

题设：P的投影落在ABC的外心上

第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心H，则P,O,H三点共线；

第二步：算出小圆面的半径AH，算出棱锥的高PHh；

第三步：勾股定理OHAHOA，222(hR)2r2R2

类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

题设：平面PAC平面ABC，ABBC

第一步：确定小截面圆的圆心位置：AC为小圆直径，求AC长；

第二步：由图知，球心必为PAC的外心；

第三步：在PAC中，正弦定理AC2R

sinAPC

题设：平面PAC平面ABC，PAPC，ABBC

第一步：确定球心O的位置，P,O,H三点共线；

第二步：算出小圆面半径AHr；算出棱锥的高PHh；

第三步：勾股定理OHAHOA

222(

h



R

)



r



R

222

类型四、汉堡型（直棱柱的内接球）

题设：直三棱柱内接于一球（棱柱的上下底面为任意三角形）

第一步：确定球心O的位置，H为ABC的外心，则OH平面ABC；

,OH第二步：算出小圆面半径AHr

第三步：勾股定理OHAHOA

2221hAA1；

22h22Rr()

2

题设：直三棱柱内接于一球（棱柱的上下底面为直角三角形）

第一步：类比上题的解法，小圆面半径AHr

第二步：勾股定理11hAC

,OHAA1222

hOH2AH2OA2Rr2()2

2

题设：四棱锥PABCD内接于一球，

平面PAD平面ABCD. 第一步：将此四棱锥补成直四棱柱，类比上面方法可解；

第二步：勾股定理

hOH2PH2OP2Rr2()2

2

类型五、折叠模型

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼接在一起，或菱形折叠

第一步：如图所示，将BCD画在小圆面上，找出BCD和A'BD的外心H1,H2；

第二步：过H1,H2分别作所在三角形平面的垂线，交点即为球心O,连接OE,OC；

第三步：解三角形OEH1，算出OH1，在RtOCH1中，

勾股定理：OH1CH1OC2

22

类型六、对棱相等模型

题设：三棱锥或四面体高祖三组对棱相等，求外接球半径

(ABCD,ADBC,ACBD)

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设长方体的长宽高分别为a,b,c，列出方程

a2b2BC222222222222bcACabc22222caAB类型七：两直角三角形拼在一起模型

题设：APBAQB90o，求外接球半径

（分析：取斜边AB的中点，连接OP,OQ，

1OPABOAOBOQ

2

所以O点即为球心，然后在POQ中解出半径R）

222222

第三步：根据墙角模型，abc2RR，解出R

8

11

补充：VABCDabcabc4abc

63类型八：锥体的内切球问题

题设：正棱锥求内切球半径

,H分别为两个三角形

第一步：先画出内切球的截面圆如左图，E

的外心；

1

第二步：求DHBD,POPHr，PD为侧面PAC的3

高；

OEPO

第三步：由POE相似于PDH，建立等式：

DHPD

解出r

题设：正棱锥求内切球半径

第一步：先画出内切球的截面如左图，P,O,H三点共线；

1HFBC,POPHr，PF为侧面PCD

第二步：求的高；

2

OGPOPHFPGO第三步：由由相似于，建立等式：

HFPF

解出r

题设：求任意三棱锥的内切球半径（等体积法）

第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；

第二步：设内切求半径为r，建立等式

VP

ABCVOABCV0PABVOPACVOPBC

1(SABCSPABSPACSPBC)r

3

3VPABC

第三步：解出r

SABCSPACSPABSPBC