3.1.3 导数的几何意义优秀课堂实录

1.1．3导数的几何意义(二) 教学目标：理解导数概念.掌握函数在一点处的导数定义及求法.掌握函数的导数的求法. 教学重点：导数的概念及其求法.及几何意义。

教学难点：对导数概念的理解. 教学过程：

复习引入

1．函数的导数值

函数y＝f(x)，如果自变量x在x0处有增量x，则函数y相应地有增量

y＝f(x0＋x)－f(x0)．

比值yf(x0x)f(x0)y.

就叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋x之间的平均变化率，即

xxxy有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x记作f '(x0)如果当Δx→0时，x0处的导数(或变化率)

或y'xx0，即

f '(x0)＝limf(x0x)f(x0)y=lim

x0xx0x2．函数

y＝f(x) 的导函数

如果函数在开区间(a, b)内每点处都有导数，对于每一个x0∈(a，b)，都对应着一

个确定的导数f (x0)．从而构成一个新的函数f (x)．称这个函数为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．简称导数．也可记作y．

即

f'(x)y'limyf(xx)f(x) lim.

x0xx0x3．导数的几何意义

函数y＝f(x) 在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P（x0, f(x0)）处的切线的斜率．

也就是说，曲线y＝f(x)在点P（x0, f(x0)）处的切线的斜率是f '(x0)．

切线方程为

y－y0＝f '(x0) (x0－x0)．

练习：

1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（

A

）

A．在区间[x0，x1]上的平均变化率

C．在x1处的导数

B．在x0处的变化率

D．在区间[x0，x1]上的导数

2．下列说法正确的是（

C

）

A．若f

′ (x0)不存在，则曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处就没有切线

B．若曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处有切线，则f

′ (x0)必存在

C．若f

′ (x0)不存在，则曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线斜率不存在

D．若曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线

3．已知曲线y138x上一点P(2,)，

331 求⑴

点P处的切线的斜率；⑵

点P处的切线的方程．

1133(xx)x13y33解：⑴yx,

ylim

limx0x03xx13x2x3x(x)2(x)3lim

x03x1lim[3x23xx(x)2]x2,yx2224.

∴点P处的切线的斜率等于4．

3x084(x2),

即12x3y160.

3⑵在点P处的切线的方程是y新课讲授：

例1．

教材例2。

例2．

教材例3。

练习：甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：

（1）甲、乙二人哪一个跑得快？

（2）甲、乙二人百米赛跑，

问快到终点时，谁跑得较快？

解：（1）乙跑的快；（2）乙跑的快. 例3．教材P10面第5题

例4．教材P11面第3题。

例5．已知：曲线yx1与yx1在x0处的切线互相垂直，求的值。

1例6．已知点M (0, –1)，F (0, 1)，过点M的直线l与曲线yx34x4在x = –2处的切线平行. 323（1）求直线l的方程；

（2）求以点F为焦点，l为准线的抛物线C的方程. 解：（1）∵f(2)limx0f(2x)f(2)= 0.

∴直线l的斜率为0，其方程为y = –1. xp1,p2.

2（2）∵抛物线以点F (0, 1)为焦点，y = –1为准线.

设抛物线的方程为x2 = 2py，则故抛物线C的方程为x2 = 4y.

课堂小结

导数的几何意义

函数y＝f(x) 在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P（x0, f(x0)）处的切线的斜率．

也就是说，曲线y＝f(x)在点P（x0, f(x0)）处的切线的斜率是f '(x0)．

切线方程为

y－y0＝f '(x0) (x0－x0)．

课

后

作

业

《学案》P8面《双基训练》

2