小结优秀教案

课型：

课题：

小结复习（1）

第_

1

_课时

理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的摄影等概念，能用向量语知识与技能

言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系及距离问题.

三

维

目

情感、态度

培养学生多视角分析问题和解决问题的意识，感受空间向量作为工具的重大应用标

价值观

功能. 重

点

难

点

过程与方法

通过空间向量解决平行、垂直、角及距离等问题，经历立体几何“多思考，少计算”的历程. 1、空间向量的基本运算； 2、空间向量的简单应用.

对空间向量的理解

一

预·学

学习引导

○

1．空间向量的运算及运算律

空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的三角形法则与平行四边形法则仍然成立．

2．两个向量的数量积的计算

向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中．

3．空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间坐标系，然后再利用有关公式计算求解．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题．

4．空间向量的分解定理说明：用三个不共面的已知向量{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．

5．利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征．一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解．

6．利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法．

题型一、空间向量的坐标运算的应用

例3

棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G是DD1、BD、BB1的中点．

→→(1)求证：EF⊥CF；(2)求cos〈EF，CG〉；(3)求CE的长．

(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，

11110，0，，C(0,1,0)，F，，0，G1，1，. E222211111→→，，－，CF＝，－，0，

∴EF＝2222211→→1，0，，CE＝0，－1，. CG＝22→→11111→→∵EF·CF＝×＋×－2＋－2×0＝0，∴EF⊥CF，即EF⊥CF. 2221111→→1－×＝. (2)解

∵EF·CG＝×1＋×0＋22422→|EF|＝

→12＋12＋－12＝3，|CG|＝

222212512＋02＋＝22，

1→→4EF·CG15→→∴cos〈EF，CG〉＝＝＝. 15→→35|EF||CG|×22题型二

利用空间向量证明空间中的位置关系

向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．

例2

如图，已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1. 求证：(1)BC1⊥AB1；

(2)BC1∥平面CA1D. 证明

如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，

D(1,1,2)．

→(1)由于BC1＝(0，－2，－2)，

→AB1＝(－2,2，－2)，

→→因此BC1·AB1＝0－4＋4＝0，

→→因此BC1⊥AB1，

故BC1⊥AB1. (2)取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，

→→所以ED＝(0,1,1)，又BC1＝(0，－2，－2)，

1→→所以ED＝－BC1，

2又ED和BC1不共线，所以ED∥BC1，

又DE平面CA1D，BC1

平面CA1D，

故BC1∥平面CA1D. 例3

在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC. 证明

建系如图，设A(0,0，a)，则易得B(0,0,0)，CD(0，3a,0)，E3a33aa，a，，F(0，2a，2)，

42433a，a，0，

2233→→故AB＝(0,0，－a)，BC＝a，a，0. 22设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

→－az1＝0AB＝0，n1·则

即，取x1＝1，

→x＋y＝011BC＝0，n1·

∴n1＝(1，－1,0)为平面ABC的一个法向量．

设n2为平面BEF的一个法向量．

同理可得n2＝(1,1，－3)，

∵n1·n2＝(1，－1,0)·(1,1，－3)＝0. ∴平面BEF⊥平面ABC.