2.1.4 平面与平面之间的位置关系优秀公开课教案

直线的倾斜角与斜率的教学设计

范县希望中学

李传文

一、教学目标

1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。

2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。

3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。

4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。

二、教学重点与难点

重点：1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念；

2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式；

3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。

难点：用代数方法推导斜率的过程。

三、教学方法

计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。

四、教学过程

（一）创设情境，揭示课题

带领学生欣赏蜀道的陡峭，并用李白的“蜀道之难难于上青天”来凸显道路（直线）的倾斜程度，顺势引出本节内容“直线的倾斜角和斜率”

（出示幻灯片）给出在广场玩的跷跷板吸引学生的兴趣。

问题1、如果把跷跷板抽象成一条直线，那么跷跷板的运动过程中就形成了一系列的直线。那么这些直线有什么共同点和不同点呢？

由此引导学生归纳：

（1）这些直线都经过一点（2）这些直线的倾斜程度不同

选择哪个量来描述直线的倾斜程度（揭示课题）

设计意图：探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念

- 1 -

1、倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角。

规定：当直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

问题2：如果一条直线绕着一点旋转，则它的倾斜角有什么变化？

oyyxopllyopypxlpxolx(1) (2) (3)(4)自然有倾斜角的范围是[0，180）

设计意图：让学生明确倾斜角的取值范围是0180

（二）巩固旧知，同化新知

生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验，对于斜坡的倾斜程度，可以用什么量来反映？（坡角与坡度）(出示幻灯片) 设计意图：告知目标，明确思维的方向，将几何要素代数化

初中对坡度是如何定义的？

坡度（比）=

升高量

前进量

（即坡角的正切值）

坡角、坡度都能反映倾斜程度，迁移到数学中，坡角相当于直线的倾斜角，而坡度则对应于直线的斜率。

设计意图：引导学生理解直线的倾斜程度除了用倾斜角表示外，还可以用倾斜角的正切值表示，体现了几何向代数的转化过程，由此引出斜率概念。

2、斜率：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即ktan(90)

练习：当直线的倾斜角分别等于30°，45°，120°，135°时，直线的斜率如何求？

提示：

tan(180)tan

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问题3、让学生观察当在[0，180）内变化时，斜率k如何变化？

 得出斜率的范围：R 问题4、倾斜角与斜率都能刻画直线的倾斜程度，哪个量更优越呢？

倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度，显然用斜率更细致入微些。

（三）尝试推导，深化认识

两点确定一条直线，可见由两点也就确定了直线的倾斜程度，即倾斜角与斜率。看来，直线上两点与直线的斜率有着密不可分的联系。

问题5、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1  x2，能否用P1

、P2的坐标来表示直线斜率k？

设计意图：让学生“应用斜率等于倾斜角的正切值”这一知识点推导出过两点的直线的斜率公式，同时加深学生对斜率概念的理解。

（学生活动）：随意在坐标系下画两点P1

、P2及直线P1 P2，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。教师可适当引导其将斜坡截面图迁移到坐标系中，类似升高量，前进量，用点的坐标表示线段长，并请同学叙述各个图的推导过程与结果。

yP2（x2，y2）Q （x2，y1）yP2（x2，y2）P1（x1，y1）αQ （x2，y1）OyP1（x1，y1）P2（x2，y2）αxxαP1（x1，y1）OxyP1（x1，y1）Q （x1，y2）P2（x2，y2）αOxQ （x1，y2）O解：设直线P1 P2倾斜角为（90）当直线P1 P2方向向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线交于点Q，则点Q为（x2，y1）

（1）当为锐角时，QP1P2，x1x2，y1y2

在RtP1P21P2Q中，tantanQPQP2P1Qy2y1（老师引导推出结论）

x2x1（2）当为钝角时，180（设QP，x1x2，y1y2

1P2=）

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tan=tan(180)tan

在RtP1P2Q中，tanQP2QP1y2y1yy12

x2x1x2x1tany2y1（让学生分组推导）

x2x1yy1y2y1，即k2x2x1x2x1同理，当直线P2P1方向向上时，无论为锐角或钝角，也有tan设计意图：通过自己的探索，完善两点式斜率公式k公式与P1，P2两点的顺序无关。

y2y1（x1≠x2），检验得到x2x1思考：1、各种一般情形得出的结论一致吗？与P1、P2这两点坐标顺序有关系吗？

2、当直线垂直于x轴或y轴时，上述结论适用吗？（学生讨论）

3、斜率公式使用时应注意什么问题？

（四）典型例题：

已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB,BC,CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角。设计意图：直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系。

（五）当堂达标：

已知直线L经过三点A(3,5),B(x，7)，C(-1,y)，若直线L的斜率为k=2，求x，y的值。

（六）反思小结，概括提炼（同学们这节课有何收获？）

1、明确了确定直线位置的几何要素。

2、理解了刻画倾斜程度的量（倾斜角与斜率），知道了求斜率的两种方法（定义法、坐标法）

3、经历了代数方法刻画斜率的过程,感受了数形结合与分类讨论的数学思想

（七）作业： P89：1、2、3。

(八)板书设计

直线的倾斜角与斜率

1、倾斜角的定义

范围[0，180）

2、直线的斜率

（学生展示推导斜率公式的图形）

ktan（90）

k

y2y1（x1≠x2）

x2x1- 4 -