3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计一等奖

课题：《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》

科目：数学

提供者：郑尚东

一、教学内容分析

本节内容为人教版高中数学教材选修2-1《空间向量的正交分解及其坐标表示》，空间向量的正交分解及其坐标表示是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。首先，它是在平面向量正交分解及其坐标表示学习的基础之上来学习的；其次,学习它也是为进一步更好更快的解决立体几何中的问题等内容做好准备。

教学对象：高二（10）班

课时：1课时

景泰县第一中学

二、教学目标

1、知识与技能：

1）.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题. 2）.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 3）.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标.。

2、过程与方法：经历用向量方法解决某些简单的几何问题，体会向量是一种处理几何问题的工具，鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。. 3、情感态度与价值观：通过大量实例，体会向量语言或运算在解决数学问题中的工具作用，向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，体会他们之间的联系。

三、学习者特征分析

空间向量的正交分解及其坐标表示是在平面向量的正交分解及其坐标表示基础之上进一步学习的，相对于数学一个新板块的启蒙，学生在理解上较困难，但由平面向量的正交分解及其坐标表示类比学习空间向量的正交分解及其坐标表示对学生来说较难。首先在平面向量这一块，平面向量的正交分解及其坐标表示等知识，学生掌握的还不透彻，接受空间这一块更不言而喻，因此，对于学生来说，这节内容应用起来较不容易。

四、教学策略选择与设计[来源:Z&xx&k.Com]

本节内容为一课时，两目标，一是理解空间向量坐标的概念；二是会确定一些简单几何体的顶点坐标．

复习旧知识引出新知识，平面向量的正交分解及其坐标表示等，再由学生尝试说出空间向量的相关定义，类比归纳得出新知。

五、教学重点及难点

①重点：1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题。

②难点：理解基底、基向量及向量的线性组合的概念。

六、教学过程

教师活动

学生活动

1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题. 让学生明设计意图

目标解读

2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 确目标这节课3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标. 1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量a与 e1, e2有什么关系? 2、平面向量基本定理

复习旧知的学习目标

预习反馈

如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面识，引出新知内的任一向量a，存在惟一的一对实数a1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋识

a2 e2

1.空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p= . 其中{a,b,c}叫做空间的一个 ,a,b,c都叫做 .

2.空间向量的正交分解及其坐标表示

(1)单位正交基底

有公共起点的三个 的单位向量e1,e2,e3称为

单位正交基底.

(2)空间直角坐标系

以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为

x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.

(3)空间向量的坐标表示

对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点O重合,得到向量OP=p.由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y,z}使得p=xe

1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作p= . 知识梳理

例题讲解

【例

1】

已知{e1,e2,e3}为空间一基底,且OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,

题后反思 OC=e1+e2-e3,能否以OA,OB,OC构成空间的一个基底?

判断某一向量组能否作为基

解:能.假设OA,OB,OC共面, 根据向量共面的充要条件有:

OA=xOB+yOC, 底,关键是判[来源即:学_科_网Z_X_X_K]e1+2

e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3) 断它们是否共=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.

3xy面.如果从正所以1,xy2,此方程组无解.

面难以入手,2xy1.所以OA,OB,OC不共面. 可用反证法或

所以OA,OB,OC可构成空间的一个基底. 利用一些常见

即时训练11:已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构的几何图形进成基底的向量是(

)

行判断. (A)2a

(B)2b

(C)2a+3b

(D)2a+5c

解析:由于{a,b,c}是空间的一个基底,所以a,b,c不共面,在四个选项中,只有选项D与p,q不共面,因此,2a+5c与p,q能构成基底,

【例故选2】D.

如图,四棱锥POABC的底面为一矩形,PO⊥平面OABC,设OA

=a,

OC=b,OP=c,E,F分别是PC和PB的中点,试用a,b,c表示:BF,BE,AE,EF. 题后反思

(1)若基底确解:连接BO,

定,要充分利则BF=12BP=12(BO+OP)=11112(c-b-a)=-2a-2b+2c. 用向量加法、

BE=BC+CE=-a+1减法的三角形

2CP=-a+12(CO+OP)=-a-12b+12c. 法则和平行四AE=AP+PE=AO+OP+12(PO+OC)=-a+c+111

2(-c+b)=-a+2b+2c. 边形法则,以EF=1CB=11即时训练

2OA=a. 及数乘向量的21:(201522北京大兴高二期中)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,运算进行. 已知[来源:学*科*网]

AB=a,

AD=b,

AA1=c,则用向量a,b,c可表示向量BD1等于(

) (2)若没给定(A)

a+b+c

(B)a-b+c

(C)a+b-c

(D)-a+b+c

基底时,首先

选择基底,选择时,要尽量解析

:BD1=AD1-AB=AA1+AD-AB=c+b-a.故选D. 使所选的基向量能方便地表

示其他向量,再就是看基向

一、选择题

1.(空间向量的坐标表示)已知e1,e2,e3是空间直角坐标系中分别与x轴、y轴、z轴同向的单位向量,且p=e1+2e2-3e3,则p的坐标是( ) (A)(1,2,3) (B)(-1,-2,3) (C)(1,2,-3) (D)(1,-2,-3) 2.(空间向量的坐标表示)(2015白鹭洲中学高二月考)若点A(x2+4,4-y, 1+2z)关于y轴的对称点是B(-4x,9,7-z),则x,y,z的值依次为( ) (A)1,-4,9 (B)2,-5,-8

随堂练习与学生展示

(C)2,5,8 (D)-2,-5,8 3.(空间向量基本定理的理解)O,A,B,C为空间四点,且向量OA,OB,OC不能构成空间的一个基底,则( ) (A)OA,OB,OC共线

(C)OB,OC共线

D (B)OA,OB共线

(D)O,A,B,C四点共面

4.(坐标表示)设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,且m=2i+3j-4k,n=-i+2j-5k,则m,n的坐标分别为

.

答案: (2,3,-4),(-1,2,-5) 5.(空间向量基本定理的应用)从空间一点P引出三条射线PA,PB,PC,在PA,

[来源:Z。xx。k.Com]PB,PC上分别取PQ=a,

PR=b,PS=c,点G在PQ上,且PG=2GQ,H为RS的中点,则GH=

.(用a,b,c表示)

答案:112b+c-a

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点评与课堂小结

小结：

培养学生梳理1．空间向量基本定理．

总结的习惯，2．基底、基向量及向量的线性组合的概念. 使学生当堂内3.空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标

. 容当堂掌握。

作业布置

教材P94练习题

第2、3题，P98习题3.1 第3题

检查课堂学习效果

七、教学评价设计

评价内容

姓名

评价项目

学生自评

优

良

中

差

课堂表现

回答问题

作业态度

知识掌握

综合评价

寄语

学生

评价

日期

教师评价

良

中

差

生生互评

优

良

中

差

优

八、板书设计

一，复习引入

2，空间向量坐标表示

四，

课堂小结

二，讲授新课

3，课堂练习

1，空间向量的基本定理

三，应用举例

五，课下作业

九．教学反思