1.1.2 简单组合体的结构特征教学内容分析

第2课时

旋转体与简单组合体的结构特征

学习目标

1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体；

2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．

知识点一

圆柱

思考

观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？

答案

以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体．

圆柱的结构特征

圆柱

定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱

相关概念：

圆柱的轴：旋转轴

圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

知识点二

圆锥

思考

仿照圆柱的定义，你能定义什么是圆锥吗？

答案

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体．

圆柱O′O

图中圆柱表示为：

图形及表示

圆锥的结构特征

圆锥

定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体

相关概念：

圆锥的轴：旋转轴

圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面

母线：无论旋转到什么位置

，不垂直于轴的边

知识点三

圆台

思考

下图中的物体叫做圆台，也是旋转体，它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢？除了旋转得到以外，对比棱台、圆台还可以怎样得到呢？

为圆锥SO

图中圆锥表示

图形及表示

答案

(1)圆台可以是直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体．

(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中垂线为轴，各边旋转180°形成的面所围成的几何体．

(3)类比棱台的定义圆台还可以如下得到：

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．

圆台的结构特征

圆台

定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台

旋转法定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台

相关概念：

圆台的轴：旋转轴

圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面

圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面

母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边

知识点四

球

思考

球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？

图中圆台表示为：圆台O′O

图形及表示

答案

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体．

球的结构特征

球

定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球

相关概念：

球心：半圆的圆心

半径：半圆的半径

直径：半圆的直径

知识点五

简单组合体

思考

下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？它们是如何构成的？

图中的球表示为：球O

图形及表示

答案

这两个几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体，而是由柱、锥、台、球体中的两种或三种组合而成的几何体．

简单组合体

(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．

(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．

类型一

旋转体的结构特征

例1

判断下列各命题是否正确：

(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；

(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(3)圆锥、圆台中经过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的旋转轴截面是等腰梯形；

(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．

解

(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．

(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．

(3)正确．(4)错．应为球面．

反思与感悟

辨析几何体的结构特征，一要准确理解空间几何体的定义，准确掌握其结构特征；二要多观察实物，提高空间想象能力．

跟踪训练1

下列叙述中正确的个数是(

) ①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

A．0

B．1

C．2

D．3 答案

A 解析

①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台．故四种说法全不正确．

类型二

旋转体中的计算问题

例2

用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．

解

设圆台的母线长为l，截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r.根据相似三角形的性质得，3r＝，解得l＝9 cm.所以，圆台的母线长为9 cm. 3＋l4r反思与感悟

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．

跟踪训练2

圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比．

解

将圆台还原为圆锥，如图所示．O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，

则h＋h＋hh＝

h＋h1＝h1249＋12，149，1

h1＝4h，所以

h2＝2h，

即h1∶h2＝2∶1. 类型三

组合体的结构特征

例3

描述下列几何体的结构特征．

解

图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．

反思与感悟

组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割．

跟踪训练3

(1)下图中的组合体的结构特征有以下几种说法：

①由一个长方体割去一个四棱柱构成．

②由一个长方体与两个四棱柱组合而成．

③由一个长方体挖去一个四棱台构成．

④由一个长方体与两个四棱台组合而成.

其中正确说法的序号是________.

(2)观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的．

答案

(1)①②

(2)图1是由圆柱中挖去圆台形成的，图2是由球、棱柱、棱台组合而成的.

1．下图是由哪个平面图形旋转得到的(

)

答案

D 2．下列说法正确的是(

) A．圆锥的母线长等于底面圆直径

B．圆柱的母线与轴垂直

C．圆台的母线与轴平行

D．球的直径必过球心

答案

D 解析

圆锥的母线长与底面直径无联系；圆柱的母线与轴平行；圆台的母线与轴不平行．

3．下面几何体的截面一定是圆面的是(

) A．圆台

B．球

C．圆柱

D．棱柱

答案

B 解析

截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．

4．如图所示的(1)、(2)图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？

解

图(1)、图(2)旋转后的图形草图分别是如图①、②所示．

其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4、一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的．

1．本节所学几何体的类型

圆锥体三棱锥锥体棱锥体四棱锥几何体……圆台体三棱台台体棱台体四棱台……球体简单组合体2．注意两点

圆柱体三棱柱柱体棱柱体四棱柱……

(1)圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分；圆台的母线、棱台的侧棱延长后必交于同一点，若不满足该条件，则一定不是圆台或棱台．

(2)球面与球是两个不同的概念，球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面，也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合．而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间．

一、选择题

1．有下列四种说法：

①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；

②以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥；

③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；

④圆锥的底面是圆面，侧面是个曲面．

其中错误的有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

答案

C 解析

圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转形成的几何体，故①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能构成圆锥，故②错；圆台是由圆锥截得的，故其任意两条母线延长后一定交于一点，故③错；④是圆锥的性质，故④正确．

2．下列说法正确的是(

) A．用平行于底面的平面截圆锥，底面和截面之间的几何体是圆台

B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥

C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱

D．球面和球是同一概念

答案

A 解析

对于B，动手操作一下发现一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误；对于C，根据圆柱的结构特征可知，若两个相等的圆面不平行，那么这个物体不是圆柱，故C错误；对于D，球是由球面和内部组成，由此可知它们不是同一个概念，故D错误．A正确．

3．下列结论中正确的是(

) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

答案

D 解析

当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故C错误．

4．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(

)

答案

A 解析

此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的．

5．下列说法错误的是(

)

A．一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成

B．一个圆台可以由两个圆台拼合而成

C．一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成

D．一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成

答案

C 解析

用一个平行于底面的平面去截台体，就会得到两个台体，因此一个圆台可以由两个圆台拼合而成，一个四棱台也可以由两个四棱台拼合而成，故B，D选项说法是正确的．若在三棱锥的底面两边上任找两点，过这两点和三棱锥的顶点的截面，就会把三棱锥分成一个三棱锥和一个四棱锥，因此一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成，故A选项说法是正确的．

6.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(

) A．一个球体

B．一个球体中间挖去一个圆柱

C．一个圆柱

D．一个球体中间挖去一个长方体

答案

B 解析

圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着如图中的轴旋转而形成圆柱. 故选B.

7．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的(

)

答案

B 解析

由组合体的结构特征知，球与正方体各面相切，与各棱相离，正确答案为B. 二、填空题

8．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．

答案

两个圆锥

解析

连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥．

9．已知球O

是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O所得的截面面积为_______．

π答案

6解析

由题意知△ACD1是等边三角形，球与三边的中点都相切，平面ACD1截球O所得的截

136面即为△ACD1的内切圆，三角形的边长为2，所以内切圆的半径r＝××2＝，所326π以圆的面积为. 610．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________．

答案

2π

解析

底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.

11．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是__________．

答案

①⑤

解析

一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．

三、解答题

12.已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示，分别以AB，BC，CD，DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．

解

(1)以AB边所在直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示．

(2)以BC边所在直线为轴旋转所得的旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示．

(3)以CD边所在直线为轴旋转所得的旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个圆锥，如图③所示．

(4)以AD边所在直线为轴旋转所得的旋转体为一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示．

13.如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．

解

作出圆台的侧面展开图，如图所示，由其轴截面中Rt△OPA与OA5Rt△OQB相似，得＝，可求得OA＝20 cm.设∠BOB′＝α，由OA＋AB10于扇形弧BB的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为(2π×10) cm．扇形OBB′的半径为OA＋AB＝20＋20＝40 cm，扇形OBB′所在圆1的周长为2π×40＝80π

cm.所以扇形弧BB的长度20π为所在圆周长的.所以OB⊥OB′.所4以在Rt△B′OM中，B′M2＝402＋302，

所以B′M＝50 cm，即所求绳长的最小值为50 cm.