习题3.2名师教学实录

3.2

立体几何中的向量方法——利用空间向量求角与距离第2课时

单位：广东高州中学

科组：数学

姓名：林耀庆

一、教学目标：

1.使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；

2.使学生体验利用向量方法解决一些简单的立体几何问题的便利快捷的成功喜悦；

3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高。

二、教学重、难点

二面角的大小与两平面法向量夹角的大小关系

三、教学过程

（一）、复习引入，知识提炼：

空间三种角的向量求法

角的分类

向量求法

范围

异面直线所成的角

设两异面直线所成的角为θ,它们的方向向量为a,b,则cosθ=___________=_____.

______

设直线l与平面α所成的角为θ,l的

直线与平面所成的角

方向向量为a,平面α的法向量为n,则sinθ=_______=_______.

设二面角α-l -β为θ,平面α,β

二面角

的法向量分别为n1,n2,则|cosθ|= ____________=

点到平面的距离

平面α的一条斜线AB，斜足为A，n为平面α的法向量，则B点到平面α的距离d= _______ ______

（二）自我小测

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等.

(

) (2)若向量n1,n2分别为二面角的两半平面的法向量,则二面角的平面角的余弦值为

cosn1,n2n1n2

(

) n1n2

(3)直线与平面所成角的范围为0,

(

) 22.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为

.

(2)若直线的方向向量为u1=(1,1,1),平面的法向量为u2=(2,2,2),则直线与平面所成角的正弦值为

.

(3)若直线l1的方向向量为u1=(1,3,2),直线l2的方向向量为u2=(2,-1,1),则两直线所成的角的余弦值为

.

(4)已知平面α的法向量n=(1,1,1),向量AB=(0,0,2)，则点B到平面α的距离为

. 自我总结：

向量法求空间角时：

1.

两条异面直线所成的角的两个关注点：

(1)

余弦值

：

（2）范围: 2.求直线与平面所成角时：

(1)互余关系：

(2)对应关系: 3.二面角范围的辨别

（三）例题示范：

【例1】(优化设计题改编P133T5)在直棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M、N分别是

的中点，BC=CA=CC1，则计算：

（1）异面直线BM与AN的余弦值；

（2）BB1所在直线与平面BMN所成的角的正弦值；

（3）二面角B-MN-A的平面角的余弦值；

（4）点B1到平面BMN的距离。

B

1

B

1

C

A

C

N

A

M1

方法总结：

(1)

几何法：

①方法：

②关注点：

(2)

向量法：

①方法：

②关注点：

（四）随堂训练：（高考改编题2017全国Ⅰ•理18）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD 

平面ABCD,PA=PD=AB=DC=1, APD90

，求

(1)异面直线AB与PC夹角的余弦值；

(2)直线PC与平面PAB夹角的正弦值；

(3)二面角A-PD-C的余弦值；

(4)点D到平面PBC的距离。

（四）拓展训练

1.

如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底边长为a,侧棱长为2a，求：

(1)异面直线AC1与B1C夹角的余弦值；

(2)直线AC1与平面AB1C夹角的正弦值；

(3)二面角A1-AB1-C的余弦值；

(4)点A1到平面AB1C的距离。

C1 A1

B1

C A B

2.

如图，ABCD是一直角梯形，ABC90，SA面ABCD，SAABBC1，AD1，求

2（1）面SCD与面SBA所成二面角的余弦值；

（2）点到面SCD的距离。

S B C A D

一、课堂小结：本节课复习了什么方法？

1. 关于直线可转化为

向量；关于平面可转换

向量。

2. 异面直线所成的角转化为

3. 直线与平面所成的角转化为

4. 平面与平面所成的角转化为

5. 点到平面的距离转化为