3.3.1 两条直线的交点坐标教学设计与反思

石家庄第二十七中学

胡方景

一、教学目标：⑴知识目标：让学生掌握点线距离公式的推导方法并能利用公式求点线距离。

⑵能力目标：培养学生从特殊到一般的分析解决问题能力。提高学生使用现代化工具的动手能力。

⑶情感目标：让学生充分感受数学的美；增加对解几的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲，培养学生发散思维、积极探索的精神.

二、教学重点：公式的推导与应用。

三、教学难点：知识教学方面：如何启发学生自己构思出点到直线距离公式的推导方案。

情感教育方面：如何营造课堂积极求解的氛围。以激发学生的创造力。增强学生知难而进的决心。难点突破方法：采用“从特殊到一般”的方法，通过学生的积极思考和参与，从特殊情况的求解探寻出一般情况的求解方法。

四、教学用具：PowerPoint课件

五、教学方法：启发式，提问式

六、教学过程：

一、新课引入：

前面几节课我们已经研究了两直线的平行、垂直和相交的问题，请同学们回忆一下：如何判断两条直线的位置关系？如果两直线相交，又如何求出交点的坐标呢？（请同学回答）

大家已逐步熟悉了用代数方法研究几何问题的思想方法，本章节重点研究的是点线、线线的位置关系和度量关系。那么，我们又已经学过什么样的度量关系呢？（两点间的距离公式：点Px1,y1,Qx2,y2,则PQd）。

x1x22y1y22，来源于“勾股定理”自然会问到：两条（平行）直线间的距离又如何求解呢？（转化为点到直线的距离）

这一节课我们就来研究怎样用点的坐标Px0,y0和直线的方程l:AxByC0来求解点P到直线l的距离d。

二、新课：

1、点到直线的距离定义：点p到直线l的垂线段的长，记为d，即：过p作l的垂线，垂足为Q，则PQd。显然，它是点p到直线l上任意点的距离中最小的。

2、【问题1】已知点P1,2和直线l:2xy100，求

（由学生分析、解答）

分析：先求出过

∴

点和

垂直的直线PQ:x2y50，再求出l和PQ的交点Q3,4

点到直线l的距离．

如果把【问题1】一般化就有如下问题：

【问题2】已知：Px0,y0和直线l:AxByC0（

不在直线

上，且A,B不同1

时为零），试求

点到直线

的距离．

（分情况引导学生分析推导）

（1）

若A0，则l:yCCBy0C，则dy0

BBB（2）

若B0，则l:xCCAx0C，则dx0

AAA（3）

若A0且B0（如图）

lROyPdQSx

B，由点斜式写出直线PQ的方程，由PQA和l的方程联立解得Q的坐标，利用两点间距离公式求出d，即：|PQ|  Q点坐标直线PQ与直线L的交点直线PQ的方程直线PQ的斜率直线l的斜率，采用了化归的常规思路：作PQl，垂足为Q，则KPQ思想，解答过程比较繁杂，不提倡采用。

刚才求解时，我们看到对于特殊的直线来说距离好求。现在是一般的直线，能不能够先选择一个特殊的点来求解呢？选择哪一个特殊点好？（原点）

yl【问题3】求原点O到直线l:AxByC0的距离OQ？（如图）

方法一：在RT⊿OMN中，很容易求出OM,ON，则可以求出O(P)QMNxMNOM2ON2，而OQ是其斜边上的高，利用“等面积法”就可以求出OQOMONMN。

方法二：在RT⊿OMN中，很容易求出OM,ON，则可以求出MN发现RT⊿OMN∽RT⊿QON，利用三角形相似也可以求解OQOM2ON2，。

OMONMN方法三：求解线段长度可以放在直角三角形里进行，利用解三角形的相关知识求解。可以放在RT⊿OQM中进行，因为OM易求，而MOQ(或)，再利用三角函数的

2

同角公式cosMOQcos112sec1tan1A1B。

2BAB22，又C因为OM，所以OQOMcosMOQBCAB22从这个问题的求解过程中，我们发现：不管使用什么方法，最关键的是要构造一个直角三角形出来，然后问题就可以迎刃而解了。

现在回到一般情况：点是任意的，如何选取第三点M,以构成一个直角三角形？

（仿照问题3的解决办法，过P点作与y轴平行的直线，交直线l于点M，因为PM易求，只需求出直角三角形的一个角即可）

具体分析如下：

⑴

当直线的倾斜角为锐角时： ⑵当直线的倾斜角为钝角时：

yPlQMOlyPQx

OMx

或MPQ1800，从而cosMPQ＝cos＝综上所述：MPQ11sec1tan211AB22BAB22，

又设Mx1,y1，∵PM//y轴，∴x1x0，而M点在直线l（Ax+By+C=0）上，把M点y1坐标代入得：Ax0By0CAx0CAx0C，因此PMy0y1y0，

BBBBBAx0By0CBBAB22∴

PQPMcosMPQ

Ax0By0CAB22

3

3、公式dAx0By0CAB，即

，即

22的完善：容易验证（由学生完成）：

当

当

当

轴时，公式成立；

轴时，公式成立；

点在

上时，公式成立．

4、公式dAx0By0CAB22的结构特点：

（1）分子是

点坐标代入直线方程；

（2）分母是直线未知数x,y系数平方和的算术根，类似于勾股定理求斜边的长

课堂练习：1、求解：

（1）P（-2，3）到直线y= -2的距离是________

（2）P（-1，1）到直线3x= 2的距离是_________

（3）P（2，-3）到直线x+2y+4= 0的距离是_______

（4）P（-1，1）到直线2x+y-10= 0的距离是______

（5）P（2，0）到直线y= 2x的距离是______

答案：（1）、5

（2）、12115

（3）、0

（4）、35（5）、45

52、（P53例11）求平行线2x7y80和2x7y60的距离。

分析：“两平行线间距离处处相等”，故可以在其中一条直线上任取一点P，则P到另一条直线的距离即为所求。为了计算方便，P常取为直线和坐标轴的交点，如（-4，0）

【问题4】两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线

与

解：在直线上

到直线

的距离．

任取一点，如

的距离，（如图2）．

则两平行线的距离就是点

因此，

系数相同。

＝

＝

注意：用公式时，注意一次项系数是否一致，必须保证x,y的

4

三、小结：

1、点到直线的距离公式及其推导；

师生一起总结点到直线距离公式的推导过程：dAx0By0CAB22

2、利用公式求点到直线的距离；

3、两平行直线的距离公式；

4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离．

四、作业：P54 ：13、14、16

教学设计以及教法说明

解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。

本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上．本

5

节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能熟练地掌握公式，增强学生动手计算的能力．另外还要加强根据已知条件求直线方程的教学。在学习点到直线距离公式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养能力．

这堂课，既是一堂新课，也是实验课；既学习了新知识，也锻炼了用从特殊到一般，再从一般到特殊的思维方法分析解决问题的能力，提高了学生使用现代化工具的动手能力；也让学生感受到数学变化的美；也在学生个性情感中融入了创新的意识与胆量。

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