3.3.1 两条直线的交点坐标教学设计及课堂实录

3.3.1 两条直线的交点坐标

一、复习导入

1、斜率公式ky2y1

x2x12、两条直线重合、平行以及垂直的判定

垂直：k1k21或A1A2B1B20。平行：k1k2,b1b2或A1B2-A2B20，B1C2-B2C10

3、直线的方程及所含常数的几何意义和适用条件

上述情况表明：两直线的交点（即公共点）坐标满足由两条直线所组成的方程组，那么如果两直线相交，怎样求交点坐标。

二、探究新知

探究一、如何用代数方法求两直线的交点

1、直线上的点与直线方程的解的关系

①

讨论：直线上的点与其方程的解有什么样的关系？

②

练习：完成书上102页的表。

③

直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解，反之直线方程的每一组解都表示直线上的点的坐标。

2、两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系

讨论：点A-2,2是否在直线l1:3x4y20上？点A-2,2是否在直线l2:2xy20上？

点A在直线l1上，所以A点的坐标是方程3x4y20的解；又因为点A在直线l2上，所以A点的坐标也是方程2xy20的解，即A点的坐标是这两个方程的公共解，因此3x4y20，的解。

A-2,2是方程组2xy20讨论：点A和直线l1与l2有什么关系？为什么？

3、已知两条直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20，如何求它们的交点坐标呢？

结论：用代数方法求两直线的交点坐标，只需写出两条直线的方程，然后联立求解。由于交点同时在两条直线上，交点的坐标原点是这两个方程的唯一公共解，那么以这个解为坐标的点必定是这两条直线的交点，因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线所组成的方程组是否有唯一解。

探究二、如何利用方程判断两直线的位置关系

问题：两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数，和直线的位置关系有什么联系？

展示：一般地，将它们联立成方程组，若方程组有唯一的解，则两直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两直线无公共点，此时两直线平行；若方程可化成同一个，则两直线重合。

完成教材例二，回答上述问题。

学生总结结论，老师补充完善，与前面所学直线位置关系联系在一起。

探究三、过交点的直线系

问题：当变化时，方程3x4y22xy20表示什么图形？图形有何特点？

分析：当0时，方程为3x4y20；当1时，方程为xy0；当2时，方程为7x6y20，…

通过观察图象可知，不论如何变化，方程3x4y22x2y20表示的图形固定经过一定点，该点就是直线l1:3x4y20和l2:2xy20的交点坐标。

综上所述，方程3x4y22xy20表示经过直线l1:3x4y20和l2:2xy20交点的直线的集合——直线束，PPT上展示图象。

结论：方程A1xB1yC1A2xB2yC20为直线系，恒过一个定点，其定点就是A1xB1yC0与A2xB2yC0的交点。

三、例题讲解

例3：已知a为实数，两直l1:axy10,l2:xya0相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x轴上。

分析：先通过联立方程将交点坐标解出来，再判断交点横纵坐标的范围。

学生思考，回答思考过程。

四、课堂小结

1、求两条直线交点的一般方法

2、两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的关系

3、过交点的直线系

五、课后作业

P109，习题3.3 A组 5题；B组 1题；P114复习参考题 A组 9题