复习参考题10分钟试讲教案

立体几何中的向量方法

教学目标：

1．能用向量方法判断线线、线面、面面的平行与垂直关系；

2．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；

3. 体会向量方法在研究几何问题中的作用。

教学重难点：向量法判断线线、线面、面面的平行与垂直关系及求空间的夹角

教学方法：讲练结合，探析归纳

教学过程

一、创设情景

1、利用向量的运算解决线线、线面、面面的平行与垂直关系；

2、利用空间向量的运算求线线角、线面角、二面角等夹角的问题．

二、知识梳理

1.设空间两条直线l,m的方向向量分别为a,b，两个平面,的法向量分别为u,v，则由如下结论

平

行

垂

直

l与m

l与

a//b

au

u//v

ab

a//u[来源:学科网ZXXK]

uv

abab与

2.设直线l,m的方向向量分别为a,b，若两直线l,m所成的角为θ

，则

cosθ＝.

3.设直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则ππ|l·n|θ＝－β(或θ＝β－)，故有sinθ＝|cosβ|＝. 22|l||n|4.设两个平面,的法向量分别为u,v，cosu,vuvuv，cosθ=-cosu,v或cosθ=cosu,v

三、典例分析[来源:学科网

例1如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

M、N分别是C1C、B1C1的中点．

求证：MN∥平面A1BD.

证明：法一：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱110，1，，N，1，1，D(0，0，0)，A1(1，长为1，则可求得M22→11→0，1)，B(1，1，0)，于是MN＝2，0，2，DA1＝(1，0，1)，

→DB＝(1，1，0)，

设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，

→→x＋z＝0，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1，x＋y＝0.→11，0，·(1，－1，－1)＝0，

所以n＝(1，－1，－1)．又MN·n＝22→所以MN⊥n.又MN⊄平面A1BD，

所以MN∥平面A1BD. →→→→1→1→1→1法二：因为MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C＝(D1A1－D1D)＝2222→→→DA1，所以MN∥DA1，而MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD，所以MN∥平面A1BD. 例2 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝2. 证明：A1C⊥平面BB1D1D；

证明:

建立如图所示的空间直角坐标系. 由AB＝AA1＝2可知O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，B1(－1，1，1)，C(－1，0，0)，A1(0，0，1)，D1(－1，－1，1). →→A1C＝(－1，0，－1)，DB＝(0，2，0)，

→→→→→BB1＝(－1，0，1)，A1C·DB＝0，A1C·BB1＝0，

即A1C⊥DB，A1C⊥BB1，且DB∩BB1＝B，

∴A1C⊥平面BB1D1D. 例3 四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．

解析：建立如图所示的空间直角坐标系．

∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2. ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．

由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，

∴∠PAD＝60°. 在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝23.∴P(0,0,23)．

∵PA＝(2,0，－23)，BC＝(－2，－3,0)，

2×(－2)＋0×(－3)＋(－23)×013∴cos〈PA，BC〉＝＝－. 134×13∴异面直线PA与BC所成角的余弦值为13

131例4

已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，2N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点. 求SN与平面CMN所成角的大小. 解：设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图. 则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，

1111，0，，N，0，0，S1，，0. M2221→－，1，0，设a＝(x，y，z)为平面CMN的法向量，

NC＝21x－y＋z＝0，2则令x＝2，得a＝(2，1，－2)，

1－x＋y＝0.2－1－122→所以|cos〈a，SN〉|＝＝，

223×2故SN与平面CMN所成角的大小为45°. 1例5 如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的中点，2E，F，G分别为PC，PD，CB的中点.将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.

(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；

(2)求二面角G－EF－D的大小；

(1)证明

∵PD⊥平面ABCD.CD⊂平面ABCD，

1∴PD⊥CD.又AB＝BC＝AP＝AD，AP⊥AB，

2∴四边形ABCD为正方形，

∴CD⊥AD.又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAD. ∵CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD. (2)解

如图，以D为原点，分别以DC，DA，DP为x轴，y轴建立空间直角坐标系D－xyz. 则G(2，1，0)，E(1，0，1)，

→→F(0，0，1)，∴EF＝(－1，0，0)，EG＝(1，1，－1).

轴，z

设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)，

→－x＝0，EF＝0，n·∴即



→x＋y－z＝0，n·EG＝0，x＝0，∴取n＝(0，1，1). y＝z.→取平面PCD的一个法向量DA＝(0，1，0)，

→DA·n12→∴cos〈DA，n〉＝＝＝. →22|DA|·|n|结合图知二面角G－EF－D的大小为45°. 四．回顾总结

综合运用向量知识判断空间线面平行与垂直及求空间角。

五．布置作业

作业本1-15 教学反思

1、向量法有别于传统的纯几何方法，而是将几何元素用向量表示，进行向量运算，再鬼刀几何问题。这种“三部曲”式的解决问题过程，再教学中具有一般性。

2、空间向量和向量方法是重点内容，而对于立体几何知识并不作系统安排，只是通过几个立体几何具体问题的例子，体现空间向量在解决立体几何问题时的应用，对解决立体几何中某些用综合法解决时技巧较大、随机性较强的问题提供了一些通法。要使学生加强对几何向量方法的一般性认识。