3.3.1 两条直线的交点坐标教学设计第二课时

3.3.1

两条直线的交点坐标（1课时）

一、教学目标

1.知识与技能

（1）直线和直线的交点。[来源:Z*xx*k.Com]

（2）二元一次方程组的解。

2.过程和方法

（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。

（2）掌握数形结合的学习法。

（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程。

二、教学重点、难点

重点：根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 难点：对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.

三、教学过程

提出问题

①已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系？

②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

③解下列方程组(由学生完成)：

2x6y30,2x6y0,3x4y20,(ⅰ);

(ⅱ);

(ⅲ)1111. yxyx2xy203232如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？

讨论结果：

学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系. 设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组A1xB1yC10,A2xB2yC20是否有唯一解. (ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交; (ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行; (ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即

直线l1、l2相交,唯一解转化l1、l2联立得方程组无穷多解l1、l2重合,

无解l1、l2平行.(代数问题)

(几何问题) 例1、

判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0. (2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0. (3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.

活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清

楚，表达是否简洁，然后再进行讲评. 5x,xy0,解:(1)解方程组得3

3x3y100,y5.3所以l1与l2相交,交点是(,). (2)解方程组3xy40,6x2y10,(1)

(2)5533①×2-②得9=0,矛盾, 方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2. (3)解方程组3x4y50,6x8y100,(1)

(2)①×2得6x+8y-10=0. 因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合. 变式训练

判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点. (1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0. (2)l1:(3-2)x+y=7,l2:x+(3+2)y-6=0. (3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5. 答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1). 例2、求经过两直线l1:x2y40和l2:xyl3:3x4y50

垂直的直线l的方程. 【思路分析】直线l与3x－4y+5=0垂直,利用垂直直线的斜率之积为－1,可得直线l的斜率,然后按点斜式写出方程.此外,也可用直线系方20的交点P,且与直线

程求解. 【解析】解法一

解方程组x2y40,可以得到P(0,2).

xy20,34因为l3的斜率为, 所以直线l的斜率为,

所以l的方程为4x+3y－6=0. 解法二

设与直线l3:3x－4y+5=0垂直的直线系的方程为4x+3y+m=0.因为它过定点P(0,2),所以4×0+3×2+m=0,m=－6,所以直线l的方程为4x+3y－6=0. 解法三

设经过两直线l1和l2的交点的直线系方程为x－2y+4+λ(x+y－2)=0, 即(1+λ)x+(λ－2)y+4－2λ=0,

显然λ≠2,故其斜率为由题意知14=,解得λ=11, 231. 243所以直线l的方程为4x+3y－6=0. 【点评】两条直线的位置与两条直线的交点存在着等价关系,两条直线的交点又与其方程组成的方程组存在着等价关系,即两直线相交,对于垂直直线的斜率,两者之积为－1,知其一可求另一个;平行直线的斜率相等. 变式训练

求经过两直线l1:x－2y+4=0和l2:x+y－2=0的交点P,且与直线l3:3x－4y+5=0平行的直线l的方程. 归纳总结

小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。

课后作业：教材109页1、2题