12.2 证明教学设计模板

12.2（3）《证明》教案

一、【学习目标】

1、

进一步了解证明的基本步骤和书写格式. 2、能从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论. 3、继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力. 二、【学习重、难点】 1、从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论. 2、证明的基本步骤和书写格式，由合情推理到演绎推理的转化.

三、活动设计

问题一：

1.三角形3个内角的和是多少？

2.你是如何知道的？

3.你认为这个结论正确吗？你有过怀疑吗？为什么？

说明：设计问题情境，实质是借助拼图实践，为定理的证明铺垫了基本思路——把3个角“搬”到一起，利用平角的定义来证明，同时使添加辅助线有必要、有意义，由于学生经历了“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定的判断”，所以实际教学中，学生对三角形3个内角和结论的正确性需要确认，也就是证明. 问题二：

1.如何证明三角形内角和等于180°？

2.你有没有办法在平面图形中把三角形的三个内角“搬”到一起？

分析：添加辅助线，实质是构造新图形，由于学生没有接触过辅助线，实际教学中学生可能采用的方法有：

(1)拼图中把一个角移动位置的活动，通过画一个角等于这个角来实现. (2)从已有的对图形的平移、旋转的认识出发，通过角的平移、旋转把三角形的3个内角“搬”到一起. 3.你能想办法把∠A、∠B“搬”到相应的位置上吗？

已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图，作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB, A∵CE∥AB, E∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等), ∴∠2=∠A(两直线平行，内错角相等). 21∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义), BDC∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换). 通过证明我们现在对三角形内角和等于180°不再产生怀疑了，于是得到：

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 说明：证明后可以让让学生知道三角形定理的可靠性与完备性，只有通过证明过的理论才是完美的，前面学过的很多正确的命题都可以通过用证明的方法来说明它们的正确性.如“等边对等角”、“平行四边形的对边相等”等. 4. 画∠ACE=∠A是否也可以证明:∠A+∠B+∠ACB=180°？

AE

BC

5. 你还有不同的证明方法吗？与同学交流.例如：过点A作EF∥BC.

AFE

BC

归纳：1.辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）

2.它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用. 3.添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结. 思考：如图，∠α是△ABC的一个外角，∠α与△ABC的内角有怎样的大小关系？

由三角形内角和定理，可以知道：

A∠α=∠A+∠B, 进而∠α＞∠A，

∠α＞∠B. BC三角形内角和定理的推论：

1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

说明：这里用多种方法来证明三角形内角和定理，让学生更能体会到证明这种逻辑推理思维.同时各种探索活动使学生能形式化的表达，发展学生合乎逻辑的思考、步步有据地、有条理地用自已的语言表达并鼓励学生主动地表达与交流，引导学生不仅从已知条件向结论探索，而且从结论向已知条件探索或从已知条件和结论两个方面互相逼近. 四、例题设计

A1. 证明：直角三角形两个锐角互余。

已知：如图，△ABC中，∠C=90°

求证：∠A＋∠B＝90°

证明:∵∠A＋∠B＋∠C=180°(三角形的内角和定理)

∴

∠A＋∠B=180°-∠C BC

又∵

∠C=90°

∴

∠A＋∠B=180°- 90°= 90°

2 . 如图，∠α、∠β、∠γ是△ABC的3个外角；

猜想△ABC的3个外角的和是多少？证明你的猜想。

解：

∠α+ ∠β+ ∠γ=360°

∵

∠1+ ∠α=180°

∠2+ ∠β=180°

∠ 3+

∠γ= 180 (平角的定义) ∴∠1+ ∠α+∠2+ ∠β+ ∠3+

∠γ=540°

∴

∠α+ ∠β+

∠γ =540°- (∠1 +∠2+ ∠3)

= 540°- 180°

= 360°

3、四边形的内角和等于多少度？证明你的结论. 已知：四边形ABCD 求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°

βB⌒

2

Cγ⌒3α1⌒A

D12C4

五、课堂小结

1.我们通过添加辅助线,把三角形的3个内角拼成1个平角;把三角形的3个内角拼成两平行线的同旁内角,证明了三角形内角和定理及推论. 2.继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力. 六、课后思考题：

已知:如图，D是△ ABC内的任意一点.

求证: ∠BDC= ∠1+ ∠A+ ∠ 2

A3BAD

B

⌒1

2

⌒

C