多边形的外角和教学实录与评析

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9.2多边形的内角和与外角和（二）

知识技能目标

1.理解多边形内角和的各种推导方法；

2.在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理.

过程性目标

1.联系多边形的内角和定理，三角形内角和定理，多边形内角与外角的关系，经历探索多边形的外角和定理；

2.结合实践与应用，充分感受多边形内角和，多边形外角和定理，体会多边形内角和、外角和的相互关系及转化.

重点、难点

1．重点：多边形的外角和定理.

2．难点：多边形的外角和定理的推导. 教学过程

一、创设情境

如图(1)四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4的度数. D43CA21(1)B

二、探究归纳

因为∠1+∠DAB=∠2+∠CBA=∠3+∠DCB=∠4+∠ADC=180°

又因为∠DAB+∠CBA+∠DCB+∠ADC=360°（四边形内角和等于360°）

所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°. 1.多边形的外角和的概念

与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和. 四边形的外角和等于360°. 2.

n边形的外角和定理

根据n边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得n边形的外角和，列表分析如下：

结论：n边形的内角与外角的总和为n·180°；

n边形的内角和为(n-2)·180°；

那么多边形的外角和为n·180°－(n－2)·180°

=n·180°－n·180°+360°=360°；

因此：任意多边形的外角和都为360°.

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注：多边形的外角和与边数无关.

三、实践应用

例1 一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数.

0分析

正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是360.

解：设一个外角为x°，则内角为(x+36)°

因为多边形的内角与相邻的外角互补；

所以

x+x+36=180 解得

x=72

360÷72=5 答：这个多边形的五边形. 点拨；多边形的外角和等于360°，与边数无关，故常把多边形内角的问题转化为外角和来处理. 练习：1.一个多边形的外角都是45°，则这个多边形是几边形？

2．多边形的每个外角都是相邻内角的13，则此多边形是几边形？内角和、外角和分别是多少？

例2 (1)四边形有几条对角线？

(2)五边形有几条对角线？六边形呢？n边形呢？

DECA(2)B

解：(1)四边形有两条对角线，

(2)如图2，以A为顶点的对角线有两条AC、AD同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD分别表示同一条线段，所以只有5条，以此类推六边形有9条对角线，从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，那么n个顶点就有n(n-3)条，但其中每一条都重复计算一次，所以n边形一共有nn32条对角线. 例3

已知多边形的内角和等于1440°，求(1)这个多边形的边数，(2)过一个顶点有几条对角线，(3)总对角线条数.

解

(1)(n-2)·180°=1440°

n=10 (2)n-3=10-3=7 （3）nn3210103235

答：这个多边形是十边形，过一个顶点的对角线有7条，共有35条对角线.

四、交流反思

1.多边形的外角和定理及多边形对角线条数的计算方法. 2.由于多边形的外角和等于360°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理. 五、检测反馈

1.在n边形某一边上任取一点P，连结点P与多边形每一个顶点，可得多少个三角形？www.canpoint.cn

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你能否根据这样划分多边形的方法来说明n边形的内角和等于(n-2)×180°?（图中取n=5的情形）

A12BEPCD

2．根据图填空：

(1)∠1=∠C+ ，∠2=∠B+ ；

(2)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= +∠1+∠2= ；

想一想，这个结论对任意的五角星是否成立？

3.一个多边形的外角和是内角和的27，求这个多边形的边数；

4.已知一多边形的每一个内角都相等，它的外角等于内角的23，求这个多边形的边数；

5.一多边形内角和为2340°，若每一个内角都相等，求每个外角的度数. 六、作业

课本习题

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