2.4 圆周角优秀课堂实录

2.3 圆周角（2）

教学目标：

（1）掌握直径所对的圆周角等于90度，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明；

（2）进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力；

（3）培养添加辅助线的能力和思维的广阔性．

教学过程：

一、情景引入

1．BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、钝角还是直角？为什么？

2．如图，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？

AABOCBOC

归纳：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦直径．

二、典例分析

例1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB=6，

∠BDC=30°，求弦BC长．

例2．利用三角板可以画出圆的直径，为什么？你能用这种方法确定一个圆形工件的圆心吗？

练习1：如图，点A、B、C、D在圆上，AB=6，BC=8，AC=10，CD=4．求AD的长．

DCA

练习2：如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为______________．

B

变：告诉OB所对圆周角30度，OB=4，求A点坐标．

例3．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点(不与点A、B重合)，延长BD到点C，使DC=BD，（1）求证：BD =DE ．

（2）AB=10，MD=2，求AE、BC

︵︵

三、拓展提高

例4．已知BC为半圆O的直径，AB=AF，AC交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交BF于E，

AMEBDOFC

（1）求证AE=BE；

3（2）若tan∠CBF=，EF=11，求BC

4三、拓展提高

1．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．

（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．

=．

2．已知△ABC内接于⊙O，F是弧上一点，OG⊥BF于点G，且OG=AC．证明：AF⊥BC．

3．如图，以Rt△ABC的边AC为直径的⊙O交斜边AB于点D，点F为BC上一点，AF交⊙O于点E，且DE∥AC．

（1）求证：∠CAF=∠B．

（2）若⊙O的半径为4，AE=2AD，求DE的长．

4．已知：如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．

0（1）∠E的度数为60；

（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；

（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．

四、课堂练习

五、课堂小结

1、认识圆的弦、弧、半圆、优弧与劣弧及其相关概念．

2、认识圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念．

3、了解“同圆或等圆的半径相等”并能用之解决问题．

六、课后反馈

课作：《课课练》

，家作：《新课程》

七、课后反思

三、拓展提高

5．（2015•烟台）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．

（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．

=．

【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：

连结AE，如图，

∵=，

∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，

∵AB为直径，

∴∠AEB=90°，

∴AE⊥BC，

∴△ABC为等腰三角形；

（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，

∴BE=CE=BC=×12=6，

在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，

∴AE=∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴AE•BC=BD•AC，

∴BD==，

，

=8，

在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=∴AD==，

∴sin∠ABD===．

6．（2015•武汉校级自主招生）已知△ABC内接于⊙O，F是弧明：AF⊥BC．

上一点，OG⊥BF于点G，且OG=AC．证

【解答】证明：如图，作直径FM，连结BM、AM，

则∠MAF=90°，

∵OG⊥BF，

∴BG=GF，

在△FBM中，∵OF=OM，FG=GB，

∴OG=BM，又OG=AC，

∴BM=AC，

∴MA∥BC，

∴AF⊥BC．

3．如图，以Rt△ABC的边AC为直径的⊙O交斜边AB于点D，点F为BC上一点，AF交⊙O于点E，且DE∥AC．

（1）求证：∠CAF=∠B．

（2）若⊙O的半径为4，AE=2AD，求DE的长．

【解答】（1）证明：连接CE，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠AEC=90°，

∴∠CAF+∠ACE=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠DAC=90°，

∵DE∥AC，

∴∴==，

，

∴∠ACE=∠DAC，

∴∠CAF=∠B；

（2）解：连DC，

∵DE∥AB，

∴∠CAE=∠AED，

∴AD=DE，

在Rt△ACD与Rt△CAE中，

∵，

∴Rt△ACD≌Rt△CAE（HL），

∴CD=AE=2AD，

设AD=x，则CD=2x，

222在Rt△ACD中，x+（2x）=8，

∴AD=，CD=．

过D作DM⊥AC，过O作ON⊥ED，

∴AD•CD=AC•DM，

∴DM====ON，

连OD，在Rt△OND中，

∵DN===

∴ED=2DN=．

8．（2015•杭州模拟）已知：如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．

（1）∠E的度数为60；

（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；

（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．

0

【解答】解：（1）如图1，连结OD，OC，BD，

∵OD=OC=CD=2 ∴△DOC为等边三角形，

∴∠DOC=60°

∴∠DBC=30°

∴∠EBD=30°

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°

00∴∠E=90°﹣30=60

0∠E的度数为60；

（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．

∵OD=OC=CD=2，

∴△DOC为等边三角形，

∴∠DOC=60°，

∴∠DAC=30°，

∴∠EBD=30°，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠E=90°﹣30°=60°，

（3）如图3，连结OD，OC，

∵OD=OC=CD=2，

∴△DOC为等边三角形，

∴∠DOC=60°，

∴∠CBD=30°，

∴∠ADB=90°，

∴∠BED=60°，

∴∠AEC=60°．