直角三角形的性质与判定优秀公开课教案

1.2 直角三角形（一）

直角三角形的性质与判定

兴平市华兴中学

白

莉

一、学情分析

勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解，为本节课的学习打下一定的基础。学生需要通过老师的进一步引导迎难而上解决本节课的实际问题，提升学生的综合能力。

二、教学目标

知识与技能：掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。

过程与方法：经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。

情感态度与价值观：发展演绎推理的能力和迎难而上的勇气。

三、教学重点：了解勾股定理及其逆定理的证明方法。结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。

四、教学难点：勾股定理及其逆定理的证明方法。

五、教具学具：自制教具和学具、多媒体课件等。

六、教学过程

本节课设计了六个教学环节：第一环节：自主探索；第二环节：对子交流；第三环节：合作交流；第四环节：达标检测；第五环节：课堂小结；第六环节：课后作业。

（一）自主探索（请认真审题)

1.直角三角形的两个锐角的关系：互余;为什么？

2.有两个角互余的三角形是：直角三角形；为什么？

3.勾股定理的内容是：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？

直角三角形的性质：

1.在直角三角形中，两锐角互余.

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2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 3.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 直角三角形的判定：

1.有一个角等于90°的三角形是直角三角形. 2.有两个角互余的三角形是直角三角形. 勾股定理的证明

已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．

求证：a2+b2＝c2．

证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．

∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

∴四边形ACDE是直角梯形．

11∴S梯形ACDE＝2

(a+b)(a+b) ＝

2

(a+b)2．

∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，

AB＝BE．

1∴S△ABE＝2

c2

∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，

1111∴2

(a+b) 2＝

2

c2 + 2

ab + 2

ab,

111即2

a2 + ab + 2

b2＝2

c2 + ab, ∴a2+b2＝c2

（二）对子交流（生生互评质疑）

将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：

bCcAEACBaBD如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。你能证明此结论吗?

下面试着将上述命题证明：

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已知在△ABC中，AB+AC=BC，求证：△ABC是直角三角形。

证明:作Rt △A′B′C′使∠C′ =900,A′C′=AC,B′C′=BC(如图),则A′C′+B′C′=A′B′(勾股定理). ∵AC+BC=AB(已知), A′C′=AC,B′C′=BC(作图), ∴ AB=A′B′(等式性质). ∴ AB=A′B′(等式性质). ∴

△ABC≌

△A′B′C′(SSS). ∴

∠A=∠A′＝ 900(全等三角形的对应角相等). ∴

△ABC是直角三角形

得出定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是22222222222,直角三角形。

（三）合作交流（小组长组织交流——小组派代表展示——其他小组质疑、纠错、评价）

1、观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也存在类似关系

（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等。

如果两个角相等，那么它们是对顶角。

（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

（3）一个三角形中相等的边所对的角相等。

一个三角形中相等的角所对的边相等。

在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．

像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件。

2、想一想，回答下列问题：

如果两个有理数相等，那么它们的平方相等的逆命题是？它们都是真命题吗？

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如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等。

（四）达标检测必做题（自己独立完成——小组批阅评价）

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假; (1)四边形是多边形；多边形是四边形；真；假

(2)两直线平行，内旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；真；真

(3)如果ab＝0，那么a＝0， b＝0如果a=0， b＝0，那么ab＝0；假；真

注意：

互逆命题是相对两个命题而言的，单独一个命题称不上互逆命题。

一个命题是真，它的逆命题可能是真，可能是假。

一对互逆命题的真假性不一定一致。

（五）课堂小结

谈谈你的收获

1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.本节课哪位同学表现最好？你从他（她）身上学到了什么？ 一．勾股定理

如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理。

二．勾股定理的逆定理

如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形

三．命题与逆命题

在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一

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个命题的逆命题

四．定理与逆定理

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理

（六）课后作业

1.必做题：课后习题1.5第1、2题。

2.选做题：

学有余力的同学再完成能力提升部分。

课下训练：（巩固提升，精准把脉中考命题方向）

基础题：1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆命题是如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

能力挑战：2.在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，BE垂直于AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD。

中考链接：用四个全等的直角三角形拼成了一个如图所示的图形，其中a表示较短，直角三角形，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个图形证明勾股定理吗？

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