8.2 消元——二元一次方程组的解法教案教学设计导入设计

课例名称：七年级数学课《

代入法解二元一次方程组

》

执教：武汉市汉南区育才中学翁辉

一、研究的内容

1．如何确定本课教学的核心知识

生活中的很多问题都涉及到多个未知数，而二元一次方程组是解决含有两个未知数问题的有力工具。同时，它也是解决后续一些数学问题的基础，如确定函数解析式问题，平面直角坐标系内求两条直线交点的问题等。二元一次方程组的解法也是今后解多元一次方程组的通法。解二元一次方程组就是要把“二元”化归为“一元”，从而“消元”，逐步求出未知数的值。本课是解二元一次方程组的第1课，而代入消元法是最基本的解二元一次方程组的方法，因此，本课教学的核心知识为代入消元法。

2．如何设计学习活动促进学生的学习

首先从学生熟悉的实际问题出发，创设问题情境，让学生用不同的方法解决这个实际问题。有的会列一元一次方程求解，有的根据两个未知数列出二元一次方程组，却在怎么求解上遇到困难。通过问题的讨论，引导学生发现它们的内在联系，从而自然产生解二元一次方程组的一种方法——直接代入法，并让学生知道这样做的依据是等量代换，体会把“二元”化为“一元”的“消元”思想，初步了解代入消元法，向学生提出数学学习中这种转化思想的重要性。

然后将问题情境变式，使列出的二元一次方程组的形式更一般化。这时引导学生小组合作，将列出的方程组和上一个方程组的形式进行比较，从而让学生认识到如果要像刚才那样代入消元，必须将其中一个方程变形成用一个未知数表示另一个未知数的形式，才能达到代入消元的目的。之后，小组合作求出这个方程组的解，并讨论归纳解这样形式的二元一次方程组的一般步骤，通过展示合作学习的成果，和组际之间的相互评价，让学生进一步体会化“二元”为“一元”的“消元”思想，归纳出用代入法解二元一次方程组的一般步骤。

接下来，出示方程组的形式更一般的例题，让学生用不同方法独立完成，再采用组际批阅法，互相交流，互为补充。让他们体会到应该选择系数比较简单的方程进行变形，再代入消元，或者相同未知数系数有整数倍关系时可以用整体代入消元会使得算法更简便，进一步让学生掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤和技巧，体会消元的各种不同途径，在深化练习中加深对解法本质的理解，在多种方法中优选比较简单的解法。教师可与学生一起将代入法解方程组的具体步骤用流程图展示，并揭示其每一步的作用，进行解题后的回顾与反思

，渗透化归转化思想和算法中的程序化思想，培养学生良好的学习习惯，和思维的有序性，提高思维的深度。

最后，让学生小组内交流本节课的收获和疑问，再请小组代表全班交流，从而归纳梳理本节课的知识点，达到总结升华的目的。

3．信息技术如何支持学生的学习

①

对于独学的问题，通过抢答、计分等形式调动学生思考的积极性；

②

对于小组合作解决的问题，通过计时器、智慧挑人、飞递、作品分享等信息技术，提高小组合作的有序性和有效性；

③

通过即问即答及二次作答，进一步使学生内化对核心知识的理解与掌握；

④

通过差异化推送，落实分层教学，因材施教。

二、文本解读

本节主要内容是在上节已认识二元一次方程（组）和二元一次方程（组）的解等概念的基础上，来学习解方程组的第一种方法——代入消元法，并初步体会解二元一次方程组的基本思想“消元”。课本从本章的引言“篮球联赛”的问题出发，直接设两个未知数，设胜x场，负y场，列出二元一次方程组。然后提出如果只设一个未知数：胜x场，那么这个问题也可以用一元一次方程求解。紧接着提出思考：上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？通过分析其内在的联系，将二元一次方程组转化为一元一次方程的过程，从而让学生体会“消元”思想，进而引出代入消元法的概念及代入法的基本步骤。这个基本步骤和消元结合，使学生更明确了这样做的目的。接下来，通过例1的分析和完整的解答，让学生进一步掌握用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤，理解每一个步骤的有序性、严密性和规范性，体会算法思想，并引导学生关注解答过程中的细节问题，如变形之后是代入另一个方程消元；求出一个未知数后，是将其代入到相对较简单的方程中去求另一个未知数的值。课后练习中的第1题，让学生继续巩固将二元一次方程变形成用一个未知数表示成另一个未知数的形式，强化代入消元法的第1个步骤。第2题通过两道解二元一次方程组的问题，进一步巩固代入消元法，训练解题的规范性，在具体实践中体验“消元”化归思想，提高解题能力。

二元一次方程组的解法不但用到了前面学过的一元一次方程的解法，是对过去所学知识的一个回顾和提高，同时，也为后面的利用方程组来解决实际问题打下了基础。初中阶段要掌握的二元一次方程组的解法有代入消元法和加减消元法两种，教材都是按先求解后应用的顺序安排，这样安排既可以在前一小节中有针对性的学习解法，又可在后一小节的应用中巩固前面的知识。

本课的核心知识是代入消元法解二元一次方程组，它是落实

“消元”思想的具体措施。本课蕴含的消元化归思想对于探讨多元方程及高次方程的解法中具有重要的指导意义，在初中代数知识体系——方程中占有重要的地位。

三、教学目标

1．知识：

（1）使学生掌握用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤；

（2）培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形；

（3）使学生通过探索，从具体到一般，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程。初步理解把未知化已知和化繁为简的化归思想方法。

2．技能：

培养学生合作交流、探索、观察、分析，获得数学思想的能力；培养学生独立获取知识的方法并解决问题的能力。

3．情感：

（1）在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的兴趣、提高学习数学的信心。、

（2）培养学生自主探索、合作交流的良好习惯。

四、技术与资源

1．技术环境：交互电子白板/平板电脑。

2．数字化教学资源：PPT/The 五、教学过程

教学过程

学习活动1 回顾与思考 （一）问题：什么是二元一次方程（组）？什么是二元一次方程（组）的解？

（二）思考：1. 把下面两个方程写成用含x的式子表示y的形式. （1）

2xy3 （2）

3xy102.你能把这两个方程写成用含y的式子表示x的形式吗? 提问：同一个方程，可变形成用含x的式子表示y的形式，也可以变形成用含y的式子表示x的形式，哪个更简单?

3.如果将这两个方程组成一个二元一次方程组，如何确定它的解呢？

学习活动2 核心问题探究

【创设情境，质疑激思】

问题1：图（1）、（2）的两个天平保持平衡，并且每个苹果、每个梨的重量一样（单位：克）。苹果和梨的200. 10

. 技术的应用及其意图

通过两个热身练习，让学生熟练将二元一次方程变形成用一个未知数表示另一个未知数的形式，体会怎样的变形更简单，引出本节课将要学习的内容。通过抢权计分的信息技术，调动学生的积极性。

问题1让学生自由思考，既可以用以前所学的一元一次方程求解，也可以

图（1）

图（2）

重量分别为多少克？你准备如何解决这个问题？

【预设】

法一：设苹果的重量为x克，列一元一次方程为：

x+(x+10)=200①

法二：设苹果的重量为x克，列一元一次方程为：

200-x= x+10②

借助于刚学过的二元一次方程组。通过小组合作

引导学生关注两种方程的区别，启发学生从不同中探寻新旧知识间的联系，发现方法，突破难点.问题的提出建立在学生现有知识基础上，让学生在探究的过程中体会化法三：设苹果的重量为x克，梨的重量为y克，列二归的思想. 元一次方程组为 x+y=200③

y = x+10④

问题2：观察方程①和③，在表示梨的重量时有什么不

同？这个一元一次方程和所列的二元一次方程组有什

么区别和联系？小组探究：如何确定这个方程组的

解？

教师再配合学生动态演

示由二元一次方程组转问题3：你能解释一元一次方程②和所列的二元一次方化为一元一次方程的过程组之间的关系吗？

程，让学生体会由未知向【归纳】（1）二元一次方程组中有____个未知数，如已知转化的思想，由师生

果消去其中一个未知数，就把____________转化为我们熟悉的____________，我们就可以先求出一个未知共同参与并总结得出数，再求另一个未知数。这种将_______的个数由多化“将方程组中未知数的少、逐一解决的思想，叫做_________思想。

个数由多化少、逐一解（2）上述问题的解法，是把方程组中一个方程的决”的消元思想。

其中一个未知数用___________________表示，再代入____________，实现________，进而求得这个二元一

次方程组的解，这种方法叫________________ ，简称

____________。

问题4：在图（1）的条件下，如果3个苹果比两个梨

重5克，那么苹果和梨的重量又分别是多少？请你列

二元一次方程组，观察和上一个方程组形式上有什么

区别？

思考：选择哪个方程进行变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，从而代入另一个方程，达到将

二元一次方程组转化为一元一次方程的目的呢？

学习活动3 小组互动展示

【运用举例】

用代入法解方程组 2x-y=5 4x+3y=7 （请尝试用不同的代入方法求解，比较各种方法的优劣，和同伴交流你的思路、步骤、结果）

你能归纳用代入法解二元一次方程组的一般步骤吗？

你会解回顾与思考中的方程组了吗？

【随堂练习】

问题4，让学生先列方程组，并对比、确定变形哪个方程计算更简捷．使学生再次经历了代入消元法解二元一次方程组的过程，并利用此题给出解方程组的框图，让学生体会算法中的程序化思想。

学生已初步掌握了用代入法解二元一次方程组的思想方法和大致步骤，通过本题用不同的代入消元法让学生对这种方法进一步巩固，师生共同分析和评价，找到解题过程中的易错点．让学1.方程-x+4y=-15用含有y的式子表示x为（ ）

A.-x =4y-15 B. x =-15+4y C. x =4y+15 D. x =-4y+15 生更好理解和掌握代入2.以方程组 y=1-2x 的解为坐标的点（x,y）在平面直角坐

消元法的关键步骤，养成

3x+y=-11 标系中的位置是（ ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.由方程组 2x=1- m ，可以得出x与y的数量关系是（ ）

m-y=-3 A.2x+y=4 B.2x-y=4 C.2x+y=-4 D.2x-y=-4 良好的计算习惯，提高计算能力．同时，学生在互评互判、合作交流的过程中体会消元的各种不同途径，如整体代入法，优选简单方法，使得

“代入法”在学生头脑中得到升华。

活动5，要求学生回顾学到了哪些知识和方法，还要回顾和分享探究过程中遇到的问题和解决问题的方法，使学生获得良

好的、积极的情感体验

学习活动4 拓展提升（根据实际情况选做）

1.已知关于x、y的方程组 mx+ny=7 的解为

2mx-3ny=4 x=1 y=2 ，求m+4n的平方根。

2. 若关于x和y的二元一次方程组 与 有同解，

求m 、n 的值。

xy3

mxny0

xy1

nxmy5



学习活动5 反思与总结

这节课你学到了什么？还有什么疑惑？和你的同伴交流一下。