1.1.2 充分条件和必要条件教案1

1.2.1

充分条件与必要条件

南京市第九中学

李净

教学目标：

1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；

2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法；

3．培养学生的辩证思维能力．

教学重点：

理解必要条件、充分条件与充要条件的意义及判定方法．

教学难点：

理解充分条件、必要条件的的意义．

教学方法：

问题探究法

教学过程：

1. 问题情境：

同学们，我们知道能够判断真假的语句叫做命题，那么，你能判断下列命题的真假吗？

问题1：请判断下列命题的真假．

（1）若x＝1，则x2＝1；

（2）若x2＞1，则x＞1；

（3）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等．

真，假，真．

2. 数学简化：

然而，用这个命题为真命题或者假命题来叙述有一些繁琐，为了简便，我们可以引入推出符号．

如果“若p，则q”为真命题，我们就说，“p推出q”，记作p



q.“若p，则q”为假命题，我们就说，“p不能推出q”，记作p

/

q. 回到问题1：请用“”、“/

”填空． （1）x＝1

x2＝1；

1

（2）x2＞1

x＞1；

（3）两个三角形全等

两个三角形的面积相等．

思考：如果p 

q，那么p和q之间有怎样的关系？

问题2：请在横线上填上合适的语句．

（1）p：



q：x2＝1；

（2）p：



q：两个三角形的面积相等．

生：（1）p：x＝±1



q：x2＝1；

p：x＝1



q：x2＝1；

p：x＝－1



q：x2＝1；

p：x4＝－1



q：x2＝1；

（2）p：两个三角形全等



q：两个三角形的面积相等；

p：两个三角形同底等高



q：两个三角形的面积相等；

p：两个三角形的底和高的乘积相等



q：两个三角形的面积相等. 思考：上述问题中的答案唯一吗？这说明什么？

首先，我们来看在p 

q中，p有什么作用？

如果p成立，一定能得到q成立吗？是否需要其它的条件作为补充？（通过问题2中的具体问题举例说明）

一方面，如果p成立，就一定能得到q成立；要使q成立，只要具备p就足够了．我们可以通俗地说“有p就行”.

接下来，我们来看在p 

q中，q有什么作用？

如果q成立，一定能得到p成立吗？

那么是不是说q对于p来说是可有可无的呢？（通过问题2中的具体问题举例说明）

另一方面，q成立是p成立必不可缺的条件．如果没有q作为条件，那么一定没有结论p，也就是说，要得到结论p，必须要有q作为条件．我们可以通俗地说“没q

2

不行”.

3. 新知建构：

一般地，如果p 

q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件. 再次回到问题1，请用“充分条件”和“必要条件”来说明两个语句的关系，直观感知概念. 例1

下列命题中，p是q的充分条件的有 . （要判断p是否为q的充分条件，就是要研究p能否推出q）

（1）p：

x－1＝0，q：（x－1）（x＋2）＝0；

（2）p：两直线平行，q：内错角相等；

（3）p：a＞b，q：a2＞b2

；

（4）p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．

追问问题：对于命题(1)、(2)，我们可不可以称q是p的必要条件呢？

注：要得到“p是q的充分条件”或者“q是p的必要条件”，均要从“p 

q”入手. 变式 下列命题中，p是q的必要条件的有 . （要判断p是否为q的必要条件，就是要研究q能否推出p）

（1）p：x－1＝0，q：（x－1）（x＋2）＝0；

（2）p：两直线平行，q：内错角相等；

（3）p：a＞b，q：a2＞b2

；

（4）p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．

追问问题：对于命题(2)、(4)，我们可不可以称q是p的充分条件呢？

注：要得到“p是q的必要条件”或者“q是p的充分条件”，均要从“p 

q”入手. 在上述问题中，我们发现要全面地认识p和q的关系，应从p是q的充分条件和p是q的必要条件两方面加以考虑．从而我们可以得出以下结论：

一般地，

3

如果p 

q且q 

p，，那么称

p是q的充分必要条件，简称充要条件,记作p 

q

．

如果p 

q且q /

p，那么称p是q的充分不必要条件；

如果p

/

q且q



p，那么称p是q的必要不充分条件；

如果p

/

q且q

/

p，那称p是q的既不充分也不必要条件．

思考：你能否得出在上述四种关系中，q是p 的什么条件？

注：定义中，要研究p是q的什么条件，一方面要判断p 能否推出

q，即研究“充分性”，另一方满要判断q能否推出p，即研究“必要性”，如果要研究q是p的什么条件，同样要从充分性和必要性两方面来说明，即一方面要判断q能否推出p（充分性），另一方满要判断p能否推出q（必要性）．

4.

数学应用：

练习

从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中，选出适当的一种填空：

（1）“a＝b”是“2a＝2b”的 ．

（2）设a，b∈Z，“a和b都是偶数”是“a＋b是偶数”的

．

（3）设a，b是两个非零向量，那么“a＝2b”是“a∥b”的_______________．

（4）“b＝0”是“直线y＝kx＋b过坐标原点”的

．

（5）“两条直线不相交”是“这两条直线是异面直线”的

．

（6）“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“l

⊥α”的

．

思考：若将问题改为p的什么条件是q，该如何回答？

注：①在句型：p是q的

？

条件，应把“p”作为主语，该句式与定义的呈现方式一致．

②在句型：p的

？

条件是q中，应把“p的

？

条件”作为主语，该句式与定义的呈现方式不一致，应该改为“q是p的

？

条件”．

看来，要想清晰、准确地表达，不仅需要语文的语法结构，还需要数学的逻辑原理．

课堂活动：

请同学们举例说明：

4

（1）p是q的充分不必要条件. （2）p是q的必要不充分条件. （我们要寻找p是q的必要不充分条件，只需把刚才的p是q的充分不必要条件中的p与q互换即可）

（3）p是q的充要条件. （4）p是q的既不充分也不必要条件. 5. 课堂小结

师生共同回顾本节课的教学过程，小结反思：

（1）这节课学习了什么知识？

我们的学习路径是怎样的？

（这四种表述的含义相同）

（2）知识应用：

这些知识在实际生活和数学推理中有哪些应用？ 思考1：我是江苏人是我是中国人的什么条件？

思考2：以下是某同学解一道数学题的解答过程，你认为正确吗？说说你的理解. x+a若函数f(x)＝x2+1

(a>0，a≠1)为奇函数，求实数a的值. x+a解：由f(x)＝x2+1

(a>0，a≠1)为奇函数，得f(0)＝0，解之得a＝0. 数学家克莱因曾经说过：数学之美在于其对生活的精确表述、对逻辑的完美演绎. 希望同学们做一个有心人，将我们所学的充分条件和必要条件的知识正确地加以运用.

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