2.2.1 椭圆的标准方程名师教学设计2

椭圆及其标准方程

一、教材分析

1、《椭圆及其标准方程》分三课时完成. 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路。

本节是第一课时。

2、本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。

椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。

3、通过让学生自已动手作图，“定性”地画出椭圆，再通过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形式概念，推出方程。

二、教学目标分析

1、知识与技能目标：

掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导。

2、过程与方法目标：

通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

3、情感态度与价值观目标：

通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。

三、学生情况分析

1、在此之前，学生已学过坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够，

2、从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍. 3、在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要。

4、该班学生是高二理科普通班学生，数学基础整体较差。

5、经过近一学期的引导、鼓励，学生学习数学的积极性较高。

三、教学重点，难点分析

重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。

难点：椭圆标准方程的建立和推导。

四、教学基本流程

1

回忆圆的定义，及画法

五、教学过程设计

问题

1、我们在必修Ⅱ中，已学习圆的知识，请同学们用集合的观点叙述圆的定义。

2、同学们，除了大家所熟悉的圆，还有另一种圆锥曲线----椭圆。请大家举例生活中椭圆的形象。

3、如何画椭圆的呢？

类比画出椭圆，引出椭圆定义

根据条件，建立椭圆的标准方程

例题及练习

小结与布置作业

设计意图

在数学学习中，我们可以用类比方法由学习、熟悉的知识引入新的知识。

让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。

师生活动

教师在黑板上，分别用圆规画圆；用线绳画圆。让学生观察、回答圆的定义。

备注

学生思考、回答。如：地球运行轨道。圆锥、圆柱的斜截面。

培养学生观察能力，类比圆的画法，解决问题。

学生思考、试验。教师可提示采用线绳画。

（1）固定在两点F1、F2，

培养学生动手实践能力，让学生通过（2）细绳长用2a表示观察得出结论。

2a＞∣F1F2∣

（3）套上粉笔，拉动细绳移动笔尖。

分析画图过程中的“变”与“不变”的条件M F1，M F2都在变化，但∣MF1∣+∣MF2∣的长度保持不变。

4、通过画椭圆观察这条曲线上所有点满足的几何条件是什么？

培养学生观察能力、归纳总结能力，为形成椭圆定交奠定基础。

2

5、如何描述动点M所满足的几何条件。

整理试验，归纳抽象成数学问题。

把平面内与两个定点F1，F2，的距离之和等于常数（大于∣F1F2︳）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点；两点间的距离叫做椭圆的焦距（板书）。

6、如何用集合表示M点所满足的几何条件。

使学生能将文字语言转化为数学语言，为推导椭圆标准方程做铺垫。

学生回答：教师板书

P=﹛M∣MF1∣+∣MF2∣=2a﹜

7、我们怎样建立坐标系，求椭圆的标准方程呢？

推导曲线方程时，建立坐标系要适当。

师生共同分析椭圆的特征（如：对称性），使方程比较简单；以线F1F2的中心为原心，以F1F2垂直平分线为Y轴，建立直角坐标系。

完成“建系”，设动点M（x，y）是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c（C＞0），则F1（－C，0），F2（C，0），又设M与F1F2的距离和等于2a（板书）

如图：

问题

设计意图

巩固已学过的两点距离公式，为推导标准方程做准备。

师生活动

MF1MF2==备注

2(xc)y(xc)y22由

P=﹛M∣MF1∣+∣MF2∣=2a﹜

8、请同学们来表示M到F1F2的距离

∣MF1∣，∣MF2∣

2得(xc)2y2+(xc)2y2=2a

问题

设计意图

师生活动

备注

3

化简得：

(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)

9、如何整理化简上式。

引入b：

学习巩固根式化师生共生板演，得出方程

由椭圆的定义可知：

简，两边平方。

2a2c, ∴a2c20

yM让点M运动到y轴正半轴上（如图）

由学生观察图形直观获得a，c的几何意10、观察下图，找出表示a、c、ba0cF2x义，进而自然引进b，

ac的线段

22确定a、b、c的几何定义及其关系

F1此时设b2a2c2于是得图2b2x2a2y2a2b2，两边同时除 x2y221ab0222b以ab，得到方程：a（称为椭圆的标准方程）．

11、对于椭圆形标准方程：

(a﹥b﹥0)的特点是什么？还有什么结论？

x2a2学生讨论，教师板书。

适时总结归纳，区分焦点在X轴与Y轴的不同。

（1）x2a2y2b21

y2b21

(a﹥b﹥0)的焦点在X轴上；

（2）a-b=c（结论）

222

12、P34思考：如果焦点F1、F2在y轴上，且F1（0，－C），推导焦点在Y轴F2（0，C ），c，b，上的椭圆标准方的意义同上，那么程

椭圆的方程是什么？

学生已有推导焦点在x轴上的椭圆标准方程的经验，教师通过以下几点引导，由学生完成

（1）设出动点，焦点坐标，注：特别是焦点坐标，应在y轴上

（2）列出相等关系（定义）

（3）化简整理，得椭圆的另一标准方程

y2a2x2b21（a>b>0）

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13、练习：写出适合下列条件的椭圆方程

〈1〉a=4，b=1，焦点在x轴上。

〈2〉a=4，c=，焦点在y轴上。

〈3〉a+b=10，c=2 分析：以上练习较简单，其目的为了巩固求椭圆标准方程，及区别焦点在x轴上和焦点在y轴上的椭圆标准方程

问题

设计意图

师生活动

由学生独立思考，发表各

自的想法，教师适时引导，强调要注意的问题，及时总结：

（1）确定要设的椭圆标准方程

（2）要求椭圆标准方程，即要求a，b （3）恰当列出含a，b，c的方程

（4）相等关系a2-b2=c2

备注

例1P38

求标准方程

区别焦点不同，选择设不同的方程，会用定义来求椭圆标准方程，或用待定系数法来求椭圆标志方程

小结：以提问形式

（1）椭圆是怎样的点的轨迹？

（2）椭圆的标准方程是怎样的？

（3）椭圆的两个标准方程有什么区别？

作业：P42

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