2.2.1 椭圆的标准方程教学设计及教案分析

选修2-1：椭圆的定义及其标准方程教学设计

博学博爱，自立自强 授课人：

赵娜 2018.6

椭圆的定义及其标准

方程教学设计

年

级：高二年级

版

本：苏教2003课标版选修2-1

授课人：赵娜

单

位：山西省阳泉市第一中学校

1

选修2-1：椭圆的定义及其标准方程教学设计

博学博爱，自立自强 授课人：

赵娜 2018.6

椭圆的定义及标准方程教学设计

学

习

目

标

（1）掌握椭圆的定义、标准方程的推导和应用；

（2）通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟练掌握

解决几何问题的方法-----坐标法

（3）通过椭圆定义和标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住

问题本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化，对立统一的思想。

教学重点难点

重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程

难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因。

教学环节

教学内容

师生互动

（1）取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔设计意图

情景引入

由圆的定义引入椭圆的定义

尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。

（2）如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图纸的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？

问题1：引例中画出的曲线有何特点？如何定义这一曲线？

生：（讨论并给出结论）把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离和等于常数。

通过已有的知识，迁移到新知识，方便学生探索新知识。

通过实例的演示，让学生对椭圆的特征有初步认识，在让学生给椭圆的定义就水到渠成。

概念形成

椭圆的定义

师：我们把平面内与两个定点F1,F2的点的距离的和等于常数（大于F1F2）的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

学生开始只强调主要几何特征----到两定点教师在演示中要从F1,F2的距离的和等于常数，两个方面加以强调：

师：

（1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到不是椭圆，而是椭球形，式学生认识到加限制条件“在平面内”的必要性。

（2）这里的常数有什么限制？

教师边演示边提醒学生注意：

若常数F1F2，则是线段F1F2，

若常数F1F2，则轨迹不存在，

概念中应说明的两点：

概念的深化

1.

在平面内

2.

结合实际模型演示，形象直观地说明椭圆定义中的必要条件。

F1F2常数

2

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若常数F1F2，则轨迹为椭圆。

1.

椭圆的标准方程

（1）建系设点

（2）点的集合

椭圆标准方程的推导

（3）代数方程

（4）化简方程

上式两边再平方，得

将这个式子两边平方，得，

了化简这个式子，将左边的根号移到右边，

得方程

因为

问题3：观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆方程简单？

生：1.以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为

问题2：轨迹方程的求法？

生：（1）建系设点（2）点的集合

（3）代数方程（4）化简方程

由于已经熟悉了曲线的轨迹方程求解步骤，可以比较熟练地按照步骤写出过程，便于培养学生严谨规范地解决数学问题。

12x轴，线段F1,F2的垂直平分线为

y轴，建立直角坐标系xOy。

2.设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c，那么焦点F1,F2的坐标为(c,0)，(c,0)。又设M与F1,F2的距离的和等于2a。

师：引导学生推导椭圆的标准方程。

问题3：如何用集合来表示椭圆上的点所满足的几何特征？

生：PMMFMF2a

MF1(xc)2y2MF2(xc)2y2

培养学生善于观察分析、从整体上把握问题。

(xc)2y2(xc)2y22a为(xc)2y22a(xc)2y2(xc)2y24a24a(xc)2y2(xc)2y2整理得，

a2cxa(xc)2y2

a42a2cxc2x2ax2acxacay整理得

2222222

(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)

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2.

两种标准方程的比较

x2y22221

两边同除a(ac)，得222aac

①

由椭圆的定义，2a

2c，即ac，所以

图形认识，提高学生的图形识别能力以及数形的联系。

ac0。

问题4：观察右图，你能从y 22中找出a,c,线段么？

ac22的F1

P O F2

x PF1PF2a

OF1OF2c

OPac22

22令bOPacx2y2①式为221(ab0)

ab焦点在x轴上的椭圆。

问题5：如图，如果焦点F1,F2在y轴上，且

让学生体会问题的本质所在只是位置不同，图形

是一致的。

F1,F2的坐标分别为(c,0),(c,0)，a,b的意义同上，那么椭圆的方程式什么？

y2x21(ab0)

a2b2焦点在y轴上的椭圆。

椭圆的定义

（用数学语言表示）

图形

标准方程

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焦点坐标

a,b,c的关系

例1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程. 53（1）焦点为(-2,0),(2,0),且经过,22（用两种方法解答）

法一：（定义法）

因为椭圆的焦点在x轴上,所以它的标准x2y2方程为221(ab0)

ab由椭圆定义可知：

2a53(2)2(0)22253(2)2(0)222210,所以a10,

应用举例

应用举例，熟练掌握椭圆标准方程的求法，并且222又因为c2,所以bac6,

22区别焦点位置不同对曲线形式的影响。

所以,椭圆的标准方程为xy1

106方程为

法二：（待定系数法）

设椭圆的标准x2y221(a2a24)

2aa453因为过,,所以222591

4a24(a24)25(a24)9a2即124a（a24）2a425a2500

(a210)(2a25)0即a10或a2252(ac2舍),所以2

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x2y21

b6,即椭圆方程为1062（2）a4,b1,焦点在x轴上；

x2y21

16（3）a4,b15,焦点在y轴上；

y2x21

1615

（4）已知椭圆焦点在坐标轴上，且焦距为4,且经过(5,3),求其标准方程. 22x2y2y2x21或1

106106

1.

定义：椭圆是平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹。

2.

标准方程：

x2y221(ab0)2ab

课堂小结

22学生回顾本节内容，对所学知识进行总结归纳，让学生学会学习，学会反思，学会总结。

yx1(ab0)22ab

3.

图象如图所示：

y P F教师对思想方法进行指导、提炼。

O Fx

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4.

焦点：

F1(c,0),F2(c,0)

F1(0,c),F2(0,c)

5.

数形结合和待定系数法

课下作业

详细见附件：椭圆及其标准方程课后练习

巩固知识，培养自觉学习。

板书设计

一、情景引入

二、概念形成

三、标准方程的推导

四、应用举例

例1：

五、课堂小结

六、课下作业

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