正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系第二课时教学实录

正多边形与圆

【教学内容】

正多边形的性质

【教学目标】

1．理解正多边形的中心、半径、边心距与中心角等概念．

2．熟练进行正多边形的有关计算．

【教学重难点】

1．重点：正多边形的有关概念及正多边形的计算。

2．难点：熟练进行正多边形的有关计算。

【教学过程】

一、基本概念

1．定理：任何正多边形都有一个外接圆和内切圆，这两个圆同心。

2．把一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的圆心角叫做360°正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于n。

3．正多边形都是轴对称图形。如果正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形。

二、例题讲解

例1：如图，正n边形边长为a，边心距为r，求：正n边形的半径R，周长P和面积S。

分析：正多边形都有一个外接圆，利用外接圆求解，将正多边形的问题转化为解直角三角形问题。

解：如图，∵OM⊥AB于M，

11∴AM＝BM＝2AB＝2a．

在Rt△AOM中，R＝OM2＋AM2

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＝12r＋(2a)＝212r＋4a。

2∵正n边形边长为a，

∴正n边形周长P＝na．

11∵△AOB的面积＝2AB×OM＝2ar，在正n边形中，这样的三角形共有n个，正n边形面1积S＝2nar。

点拨：正n边形的半径R，边心距r和边长的一半恰好构成直角三角形，在正n边形中，共有2n个这样的直角三角形。

例2：如图(1)，求中心在坐标原点O，顶点A、D在x轴上，半径为4cm的正六边形AB CDEF的各个顶点的坐标。

分析：根据正六边形的半径可直接得出点A和点D的坐标，连接OB、OC，构造出直角三角形OBG，求出点B的坐标，根据正六边形的对称性可求出其他各顶点的坐标。

解：连接OB、OC，如图(2)。

∵六边形ABCDEF是正六边形，

360∴∠BOC＝(6)°＝60°。

∵OB＝OC，∴△BOC为正三角形。

又∵正六边形关于y轴对称，

∴∠BOG＝30°。

1在Rt△BOG中，∠OGB＝90°，OB＝4cm，BG＝2BO＝2cm，

OG＝OB2－BG2＝42－22＝23(cm)。

∴点B的坐标为(－2，－23)。

由正六边形的轴对称性和中心对称性可知C(2，－23)、E(2，23)、F(－2，23)、A(－4，0)、D(4，0)。

点拨：利用正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的直角三角形是求正多边形中的有

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关线段的长，解决正多边形计算题的常用的方法。

三、拓展练习

1．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ等于（

）

A．60°

B．65°

C．72°

D．75°

答案：D 2．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（

）

A．等边三角形

B．正方形

C．正六边形

D．圆

答案：A 3．下列说法不正确的是（

）

360°A．圆内接正n边形的中心角为n

B．各边相等，各角相等的多边形是正多边形

C．各边相等的圆内接多边形是正多边形

D．各角相等的多边形是正多边形

答案：D 4．已知正n边形的周长为P，边心距为r，求：正n边形的面积S。

1解：周长P＝na（其中a表示正n边形的边长），正n边形面积S＝2nar，

11所以正n边形面积S＝2nar＝2Pr。

5．如图，要在圆形的铁片上剪出一个边长为a的正三角形的铁片，圆形铁片的半径至少是多少？

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解：连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于点D．

∵△BAC是正三角形，

360°∴∠BOC=(3)°=120°。

∵OB=OC，OD⊥BC于点D，

11∴∠BOD=60°，∠OBD=30°，BD=2BC=2a．

设OD=x，则OB=2x。

在Rt△BOD中，

11OB2－OD2=(2a)2，(2x)2－x2=a2，

4∵x为正数，解得x=33a．

a，OB=2x=633a．

3∴圆形铁片的半径为

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