测试教学目标设计

发现“隐形”圆

巧求最值

在近几年的中考数学试题中，常有一些涉及到求线段最小值的问题.这些题目入手较难，得分率很低，分析其原因不难发现，学生对题目中运动变化的本质没有搞清楚.在这些蕴含运动变化的问题中，并没有显性的圆，但是仔细分析题目的条件，如果能发现某个点的运动路径是一个圆(或是一段弧)，可谓是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，将会对问题的解决起着重要的作用.下面举例说明.

一、翻折中的“隐形”圆

例1

如图1，在RtABC中，C90,AC6,BC8，点F

在边AC上，并且CF2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是

.

解

如图2，当点E在BC上运动时, PF的长固定不变，即PFCF2.所以点P在

以点F为圆心，以2为半径的圆上运动.过点F作FHAB交⊙F于点P，垂足为H，此时PH最短.由AFH:ABC，得FHFA.又由已知易得AF4,AB10.所以BCABFH416166，即FH.所以P到AB距离的最小值PHFHFP2. 810555来源学|科|网

模型1

如图3，直线m与⊙O相离，过D点O作直线m的垂线，垂足为点H，交⊙O与点P、点Q，则⊙O上点P到直线m的距离最短，点Q到直线m的距离最长

跟踪训练如图4，在边长为2的菱形ABCD中，A60,M对是AD边的中点，N是AB边上一动点.将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连结AC，则AC长度的最小值是

.

模型2

如图6，点P为⊙O外一定点，连结PO交⊙O于点A，延长线与⊙O交于PB的长度为⊙O外一点P到另一点B，则PA的长度为⊙O外一点P到⊙O的最短距离，⊙O的最长距离.

来源:Zxxk.Com]

理由简述

在⊙O上再任意找一点A

,连接PA，由三角形三边关系，可得来源:Z。xx。k.Com]

PA

OAO.又POPOAAP,OAOA，所以PAPA.类似的方法可以说明PB的长度为⊙O外一点P到⊙O的最长距离.

例2

如图7，菱形ABCD的边AB8,B60,P是AB上一点，BP3,Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠, A的对应点为A.当

CA的长度最小时，CQ的长为

. B60，解

如图8，过C作CEAB，连结AC.因为ABCD是菱形，所以ABC为等边三角形，所以AEEB84,BP3,EP1.要使CA的长度最小，则梯形2APQD沿直线PQ折叠后A的对应点A应落在CP上，且对称轴PQ应满足PQ//DE.由作图知，DEPQ为平行四边形，所以DQEP1,CQCDDQ817.

二、定边对定角“隐形”圆以定边为弦定角为圆周角确定隐形圆

来源学科网] 以以例3

如图9，在正方形ABCD中，动点E,F分别从D,C两点同时出发，以相同的速度在直线DC,CB上移动.连结AE和DF交于点P,由于点E,F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AD2,试求出线段CP的最小值.

解

由题意，可得DECF.又因为ADCD,ADCDCB90,所以ADEDCFCD,所以DAE.因为ADPCDF90，所以DAEADP90.由于点P在运动中保持APD90.听以点P的路径是一段以AD为直径的弧.设AD的中点为O，连结OC交弧于点P，此时CP的长度最小.在RtODC中，OCCD2OD222125，所以CPOCOP51.

点评

此题的本质是抓住动点E,F在运动过程中，始终保持AEDF，即APD90,这样点P的运动路径就确定了，即点P在以AD为直径的圆弧上，再根据模型2求解即可.

跟踪训练如图10, RtABC中，ABBC,AB6,BC4,P是ABC内部的一个动点，且满足PABPBC，则线段CP长的最小值为

.

解

因为ABC90,所以ABPPBC90.又因为PABPBC,

所以BAPABP90，即APB90，所以点P在以AB为直径的⊙O上.连结OC交⊙O于点P，此时PC最小，

在RtBCO中，OBC90,BC4,O，B可得OC5,所以PCOCO5P3，即2PC最小值为2.

XXK以上例题在求一类线段最值问题中，如果遇到动点的运动路径是圆时，只需利用上面提到的模型1或模型2就可以解决.然而难点在于如何知道动点的运动路径是圆，如何将这个隐身“圆”

找出来?从以上例子中可以得出以下两种方法:①观察到定点的距离，即圆是到定点距离等于定长的点的集合;②“定弦对定张角”，如例5中线段AB是定值，当动点P在运动过程中，APB的大小不变等于90°(当然不一定为直角)，点P的运动路径也是圆(或弧).因此，在教学时，要让学生理解概念的本质，还要培养学生对常见模型的敏感性，从而在有限的考试时间内，能快速获得破解难题的策略.

三．最大视角问题

基本模型，一条弦所对的圆周角大于这条弦所对的圆外角