第四章 圆与方程（通用）第二课时 公开课

4.2.2圆与圆的位置关系教学设计

东校区高一

苗翠茹

一、

教学内容解析

《圆与圆的位置关系》是人教A版必修2第四章第二节的知识内容，它是在初中学习的圆与圆位置关系的基础上，结合前面所学的点与圆、直线与圆的位置关系.得到圆与圆位置关系的判断方法.本节研究圆与圆的位置关系，重点是研究两圆位置关系的判断方法.用代数法解决解析几何问题是解析几何的精髓，是以后处理圆锥曲线问题的常用方法.在教授本节课时，从直线与圆的位置关系的内容结构与思维方法类比，引导学生研究圆与圆的位置关系.

二、

教学目标设置

1、知识与技能

（1）理解圆与圆的位置的种类；

（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的圆心距；

（3）会用圆心距与两圆半径之间的大小关系判断两圆的位置关系．

2、过程与方法

类比直线与圆的位置关系，经历用代数方法刻画圆与圆的位置关系的过程. 3、情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．

教学重点：两圆位置关系的判断．

教学难点：利用代数法来判断圆与圆的位置关系．

三、

教学过程

（一）复习巩固

师：我们是如何研究直线与圆的位置关系？

生：代数法与几何法.

师：直线与圆的位置关系有哪几种？

生：三种.相切，相交，相离. （二）新知讲解

师：今天我们类比研究直线与圆的位置关系的方法来研究圆与圆的位置关系。

提问：平面内的两个圆，如果它们做相对运动，你观察到两个圆有怎样位置关系？

让学生拿出自制的圆形纸片，在桌面上作圆与圆的相对评移运动，观察、分析，最后得出结论。

学生：两个圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含. 师：从两个圆的公共点个数来考虑两圆的位置关系. 生：无公共点则相离，有一个公共点则相切，有两个公共点则相交．

师：还可能有更多的公共点吗？

生：没有. 得出结论，圆与圆的位置关系有五种：

外离

外切

相交

内切

内含

提问：在这五种位置关系中，研究圆心距d与两个圆的半径R、r之间的关系。

外离

d＞R+r 外切

d=R+r 相交

|R-r|＜d＜R+r 内切

d=|R-r| 内含

d＜|R-r|

总结几何法判断两圆的位置关系的步骤如下: 第一步：计算两圆的半径R,r；

第二步：计算两圆的圆心距d；

第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系. 在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？

我们看一下问题. 例1：已知圆C1:x2y22x8y80,圆C2:x2y24x4y20,试判断圆C1与圆C2的位置关系. 生：将圆C1与圆C2化成标准方程，写出圆心坐标，计算圆心距，将其与半径和、差比较，发现两圆相交.过程如下：

圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,化为标准方程,得

(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10. 圆C1的圆心是点(-1,-4),半径长r1=5;圆C2的圆心是点(2,2),半径长r2=10. 22圆C1与圆C2的连心线的长为(12)(42)=35, 圆C1与圆C2的半径长之和为r1+r2=5+10, 半径长之差为r1-r2=5-10. 而5-10＜35＜5+10,即r1-r2＜35＜r1+r2, 所以圆C1与圆C2相交,它们有两个公共点A、B. 师：我们用几何法求解，简单清晰，请同学们思考一下类比直线与圆的位置关系代数研究方法，怎样来研究圆与圆的位置关系？

生：联立方程组，根据判别式来判断位置关系. 师：给大家几分钟时间，自己做一下. 师:请同学展示一下自己的求解过程.

22xy2x8y80,，两式相减，得x2y10，将此式生：联立方程组22xy4x4y20带入x2y24x4y20，发现判别式大于0.过程如下：

22xy2x8y80,圆C1与圆C2的方程联立得到方程组22xy4x4y20.(1)(2)

①-②得

x+2y-1=0,

③

由③得y=1x,把上式代入①并整理得x2-2x-3=0.

④

2方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0,所以方程④有两个不等的实数根,即圆C1与圆C2相交.

总结代数法两圆的位置关系的步骤：

设两圆的一般方程为

2C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E1－4F1>0)，

2C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E2－4F2>0)，

两式作差，消元，根据判别式判断根的个数也就是交点个数. 师：研究圆与圆的位置关系能否转化成研究直线x2y10与圆C的关（或圆C2）1系？

生：能.两圆交点的坐标既是圆C1与圆C2方程组的解，也是直线x2y10与方程组的解. 圆C（或圆C2）1师：求经过圆C1:x2y22x8y80,圆C2:x2y24x4y20交点的直线方程. 学生以小组为单位研究讨论，展示成果. 成果展示，两圆作差得到的直线方程就是两圆交点所在的直线方程. 思考题：

22对圆C1:x2y2D1xE1yF10,圆C2:xyD2xE2yF20的交点是P1(x1,y1),P2(x2,y2)，求过P1,P2的直线方程？

师：研究圆C1与圆C2的位置关系能否说转化为直线x2y10与圆C1(或圆C2)的位置关系呢？

生：可以.

直线x2y10是两圆公共弦所在的直线方程.

（四）巩固练习

判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程. (1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16, (2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0. 解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距

d=[2(2)(52)=5. 因为d=r1+r2,所以两圆外切. (2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36. 故两圆的半径分别为r1=4和r2=6, 22两圆的圆心距d=(03)(30)32. 22因为|r1-r2|＜d＜r1+r2,所以两圆相交. 例2

已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.

活动：学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x2项、y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长. 解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A、B两点坐标满足方程组

22xy2x6y10,22xy4x2y110.(1)(2)

①-②,得3x-4y+6=0. 因为A、B两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3. 又点C1到直线的距离为d=|13436|9=. 2253(4)所以AB=2rd2224924,即两圆的公共弦长为. 232()2555点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用. （三）课堂小结：

1.三类关系：两圆的位置关系：相离（外离和内含）、相交和相切（外切和内切）.

2.两种方法：判断圆与圆的位置关系常用几何法、代数法.