小结教学内容概述

圆锥曲线的统一定义

长沙市湘府中学 刘小霞

教材分析

圆锥曲线是一个重要的数学模型，，它具有很多非常好的几何性质，在日常生活、社会生产及科学技术中都有着重要而广泛地应用。本章内容与数学必修二中“平面解析几何初步”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，研究曲线性质”为主线，并在学生具有较多的感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念。这种从特殊到一般、从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律。

教材从先从整体上认识圆锥曲线的概念，了解椭圆、双曲线、抛物线的内在关系，再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质。我们以课本上的两个例题和一个习题为主要研究对象，从抛物线的定义出发，创设情境，提出类比、猜想，得到圆锥曲线的统一定义，从更高的形式上揭示圆锥曲线之间的内在的关系，使学生充分感受数学的内在的、和谐的美，并且通过对研究过程的反思，培养欣赏美、发现美的能力和意识，提高数学审美能力。

教学目标

1、了解圆锥曲线的统一定义；

2、掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法．

教学重点，难点

圆锥曲线的统一定义及准线方程．

课前准备

复习抛物线的定义

复习椭圆的标准方程的推导过程

教学过程

一、问题情境

1．情境：

我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的相等（比等于1）的动点P的轨迹是抛物线． (抛物线动画演示)

［设计意图]：以抛物线的定义作为新知识的生长点，设计了用电脑实验探索的问题情境，为猜想的形成提供足够的感性认识基础

当这个比值是一个不等于１的常数时，动点P的轨迹又是什么曲线呢？

2．问题：

1试探讨这个常数分别是和2时，动点P的轨迹？

2

二、学生活动

1活动1：可以得到：当常数是时，得到的是椭圆；当常数等于2时得到的是双曲线的一支；2（用几何画板演示椭圆、双曲线动画）

活动2：(用实例验证活动中的猜想，两名学生同时上台推导，并保留过程稍后对比讨论)

例1.已知点P(x,y)到定点F(4,0)的距离与它到定直线l:x求点P的轨迹．

例2.已知点P(x,y)到定点F(5,0)的距离与它到定直线l:x254的距离的比是常数，45165的距离的比是常数，54求点P的轨迹．

活动3：请大家回顾椭圆的标准方程的推导过程（课件展示）

［设计意图]：回忆推导椭圆的标准方程的过程，从中探索到定点距离与到定直线距离之比为定值所蕴涵的关系，从而自然提出后面的思考。

在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个方程：

222 acxa(xc)y

将其变形为

(xc)2y2c 2aa xc

思考：你能解释这个方程的几何意义吗？（学生发现）

［设计意图]：这个等式表明，椭圆上任意一点到焦点的距离与它到相应准线的距离之比是一个常数，这个常数就是椭圆的离心率。

用前两个例题得到的椭圆与双曲线的方程验证焦点、离心率，从而使学生学会从多个角度（如代数的、几何的角度）认识同一个数学对象。

三、数学运用

a2例题：已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线l:x的距离的比是常数cc(a0,c0,ac)，求点P的轨迹．

a

［设计意图]：(直接课件展示推导过程)学生思考、发现命题中数据的变化得到不同的结果，从而引导学生建立圆锥曲线的统一定义。

四、知识建构

a2我们可以得到：当点P到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x的距离的比是常数cc(c0,a0,ac)时，这个点的轨迹是椭圆或双曲线，这个定点是焦点，这个常数就是该曲a线的离心率．对比抛物线的定义，我们可以得到：

圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）

的距离的比等于常数e的点的轨迹．

当0e1时，它表示椭圆；

当e1时，它表示双曲线；

当e1时，它表示抛物线．

其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．

根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭a2a2圆或双曲线，与焦点F1(c,0),F2(c,0)对应的准线方分别为x,x．

cc

五、随堂检测

1.填表（后两列留给学生填空）

标准方程

图形

焦点坐标

准线方程

x2y2

a21x

(c,0)a2b2c(ab0)

y2x2

a2

122(0，c)y

abc(ab0)

x2y2

2212

aba(c,0)xc

(a0,b0)

y2x2

a2

a2b21(0，c)y

(a0,b0)c

［设计意图]:对焦点在y轴上的椭圆、双曲线（标准形式）的准线方程，让学生通过画图，独立探索.

2、已知某圆锥曲线的准线是x1，在离心率分别取下列各值时，求圆锥曲线的标准方程：

（1）e

13 （2）e1 （3）e

22

［设计意图]：此题是在学生学习了圆锥曲线的统一定义后的一道习题，目的在于学生首先根据离心率的大小来确定曲线是椭圆、双曲线还是抛物线，然后再求准线。

说明：椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线，在解题过程中要注意对应，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线（或上焦点对应上准线、下焦点对应下准线．）

六、同步测评

1.曲线2x24y21的准线方程为 . 2.已知动点M到A（2，0）的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍，点M的轨迹方程为 。

22x2y21上一点P到右准线的距离为，则该点到右焦点的距离为 ，到左焦点的3.椭圆32516距离为 ，到x轴的距离为 。

x2y21的左准线是l，左、右焦点分别为F1,F2，抛物线C2的准线也是l，焦点为F2,C1

4.椭圆C1：43与C2的一个交点为P,则PF2的值等于 . x2y21内，F的坐标为（2，0）5.已知点A(1,2)在椭圆，在椭圆上求一点P使PA2PF最小. 1612

七．回顾小结：

1、圆锥曲线的统一定义． 2、掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法．

3、对圆锥曲线统一定义的简单应用.

八．作业

1.

求下列曲线的焦点坐标和准线方程

(1)

x4y16

(2)

xy1

(3)

2x4y1

(4)

xy0

2222222x2y21上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准线的距离. 2.(1)双曲线6436x2y21的左右焦点分别为F1、F2椭圆上一点,且∠F1PF2=90° ,求ΔF1PF2的面积. (2)椭圆259