小结教学设计内容推荐

课题：立体几何中的向量方法小结（1课时）

湖北省华中师范大学第一附属中学

周龙虎

一、教学设计

1．教学内容解析

本课内容是第三章《立体几何中的向量方法》一节的小结课，主要知识点有：用向量表示空间中的点、直线和平面的位置、用向量表示空间中直线、平面平行、垂直及夹角等、用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”及向量方法与坐标方法结合解决立体几何问题．因此本节课的重点是引导学生全面复习所学的知识，找出知识间的内在联系，建立完整的知识结构体系．

本节内容是新增内容，引入空间向量后，为解决立体几何中某些用综合法解决时技巧性较大、随机性较强的问题提供了一些通法。因而，教学应立足于让学生感受向量的思想方法在解决立体几何问题中的应用，体会用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”。同时，还应鼓励学生灵活运用向量方法、综合方法和坐标方法，从不同角度解决立体几何问题。

根据以上分析，本节课的教学重点确定为

教学重点：全节认知结构的形成、知识要点的梳理和知识体系的建构；感悟向量方法在立体几何问题中的优势及研究具体几何问题的一般思路与方法．

2．学生学情诊断

学生在学习完新课后，已对本节三个主要知识点有了大致的理解，但知识点间的内在联系还比较模糊、头脑中欠缺一个本节的完整的知识结构体系；学生对向量方法的认识多集中在坐标法的理解上，因为向量的坐标运算没有太多的思维难度，而忽视了向量法中向量的线性运算，即字符运算，也就是没有深刻领会到“向量是躯体，运算是灵魂”这句话的内涵。

根据以上分析，本节课的教学难点确定为

教学难点：如何通过实例将所学知识系统化；如何体现向量方法中向量的运算功能．

3．教学目标设置

（1）通过具体实例用向量方法证明直线、平面的垂直与平行，解决直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角的的计算问题及空间中点到平面的距离问题，归纳出用向量方法解决立体几何问题的步骤与方法，感受向量方法在立体几何问题中的应用；

（2）通过用向量的线性运算解决课本中的引例，感受用向量方法解决立体几何问题的优越性，体会转化与化归的数学思想；

（3）再次熟悉向量方法解决立体几何问题的一般步骤，体会立体几何中三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系，感受立体几何中向量方法的优越性. 4．教学策略分析

单元小结课应力图通过回顾、梳理本章的知识点来完善学生的知识结构体系，提高学生整合和运用知识解决问题的能力．本节课采用的是“一题串通式”，即通过一题多问形式，将

本章主要知识、思想方法有效串通起来，其特点是线条清晰、整体性强．通过实例探究，让学生进一步巩固运用向量方法解决立体几何问题的一般步骤，掌握向量的两种运算．

教学流程：

实例探究

解中求知

总结提升

5．教学过程

（1）实例探究

实例1：如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD,PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60,E是AD的中点，F是PC的中点。

（1）建立合适的空间直角坐标系，求出平面PAB,EFB的法向量；

（2）求证：EF//平面PAB；

（3）求二面角FEBP的余弦值的大小；

（4）在棱CD上是否存在一点G，使得点G到平面EFB的距离为037？若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理14由。

【评析】通过对立体几何中不同类型的问题的研究，由点及面引导学生归纳总结立体几何问题等价转化为相应地空间向量运算来解决，以典例为载体，达到复习巩固章节知识结构的目的．

实录片断：

师：同学们先看到例1，先给大家几分钟的时间练习，我们再请同学一一阐述你的做法。

（几分钟后）

师：现在请同学分别解答每一小问。

生1：因为PAD是等边三角形，E是AD的中点，所以

有PEAD,又平面PAD平面ABCD，故PE平

面ABCD,还知道BEAD，从而得到EP,EA,EB两两 垂直，建立如图所示空间直角坐标系Exyz。

师：挺不错的，这里不像我们常研究的正方体、长方体好

建系，题中没有直接给出三条直线的两两垂直关系，需要

通过证明才能建系。那接下来呢？

生1：把相关点、线、面等元素用向量表示出来，再求法

向量。

（1）易求得BEPE3,则E(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),

33,), 22 C(2,3,0),D(1,0,0),P(0,0,3),因为F是PC的中点，则F(1, 从而BE(0,3,0),EF(1,33,),PA(1,0,3),AB(1,3,0)

22

n1PA0 设n1(x1,y1,z1)是平面PAB的法向量，则，即x13y13z1， n1AB0 取x13，所以y1z11，即n1(3,1,1)。

n2EB0 设n2是平面EBF的法向量，且n2(x2,y2,z2)，则满足,即 n2EF0y20 ，取z22，则n2(3,0,2)。

2x23z20 师：建合适的系后把我们要研究的点、线、面元素都用向量表示出来，对于研究后续

问题就很简单了吧！

实例2：如图，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500kg,在它的顶点处分别受力F1,F2,F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60，且|F1||F2||F3|200kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多少时，才能提起这块钢板？

【评析】建立坐标系，将向量坐标化，然后进行坐标形式下的向量运算，是本例的基本思路。为简化运算，引导学生换一种思路思考同一问题，体会向量方法中向量法的作用。

实录片断：

师：我们要解决的问题是什么呢？

生（齐）：就是求F1,F2,F3的合力大小和方向，再讨论合 力、重力的关系。

师：不错，先来求F1,F2,F3的合力大小，就是求 0|F1F2F3|，如何求？

生（齐）：直接平方， ，

|F1F2F3|2|F1|2|F2|2|F3|22F1F22F1F32F2F3240000

即|F1F2F3|2006。

师：那合力的方向呢？

生（齐）：显然与重力方向相反。

师：感觉是这样，那怎么说明呢？

（学生感觉不好说明）

师：那就要把这三个向量的和向量求出来，怎么求？

（学生感觉不好求）

师：大家观察一下，F1,F2,F3必是共点P的吧，我们就可以把向量F1,F2,F3分别表示

为什么？

生（齐）：可以分别记为F1AP,F2BP,F3CP

师：很好，那接下来我们就能轻松的求出它们的和向量了吧. 生（齐）：F1F2F3APBPCPAOOPBOOPCOOP3OP, 此时四面体为PABC，过点P作平面ABC的垂线，垂足为O，O为ABC的中

心。OP的方向显然与重力方向相反。

师：漂亮！因为2006500，所以钢板静止不动。实际上，借助于我们得到的这个 PABC中 数学模型，我们可以直接求出|F1F2F3|，在正四面体 |OP|6|AP|,从而|F1F2F3|3|OP|6|AP|2006500, 3 而当|F1F2F3|6|AP|500，即|AP|

500时，才能提起这块钢板。

6（2）总结归纳

实录片断：

师：至此，我们就成功的解决了这四个问题，这分别是立体几何中的哪些问题呢？

生（齐）：线面的平行问题，二面角的求解及点面距的求法。

师：也就是向量方法于立体几何中的应用主要可解决一个线面的位置关系的证明，一个 是空间角的求解问题，还一个是求空间距离。我们请同学一一来回顾。要判断、证明线、

面的平行或垂直关系，现给定大家：直线l,m的方向向量分别为a,b，平面,的法

向量分别为u,v，那具体而言有哪些特殊位置关系呢？ 生（齐）：有线线平行、线面平行、面面平行及线线垂直、线面垂直、面面垂直。

师：如何等价转化为相应地向量法呢？请同学回答

生6：l//ma//bakb；l//auau0；

//u//vukv；lmabab0；

la//uaku；uvuv0。

师：第三个问题求的是二面角的大小。我们还研究过哪些角呢？分别怎么求？请一位同

学回答。

生7：还有线线角及线面角。线线角最好求，直接求两直线的方向向量的夹角即可，注

意范围是[0,90]；线面角，就是求直线方向向量与平面法向量的夹角，其余弦值就是

线面角的正弦值，注意正弦值应取正。

00

师：第四个问题研究的是空间的距离问题。同样，请同学回答，分哪些距离？分别怎么

求？

生8：分点线距、点面距（线面距、面面距）及两异面直线的距离。

师：我们回过头再来看看这些个问题的解决，实际上，运用向量方法解决立体几何中的

问题，实际上经历了这样一个过程：用空间向量表示立体图形中的点、直线、平面等元

素→进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系→把运算结果“翻译”成相

应的几何意义。在角的取值上，尤其就要注意“翻译”的准确性了。

【评析】通过对实例的探究，组织学生归纳所运用的知识点，使涉及知识点显性化、结构化、系统化．

（3）课堂小结

一、三类问题：位置关系、空间角、空间距离；

二、两种运算：向量的坐标运算、线性运算；

三、几种思想：转化与化归、数形结合。

实录片断：

师：通过这两个实例，我们知道了运用向量方法能解决立体几何中常见的三类问题，他 们分别是证明线、面的平行与垂直关系、求空间角及距离，运用向量的方法无非就是借

助于向量的运算功能。想必大家现在更能领会“向量是躯体，运算是灵魂”这句话的内

涵了吧！既可以建系用向量坐标算，也可以不建系，直接用向量的字符运算。也就是既

能用坐标法，也能用向量法。 师：通过今天的学习，同学们能否用向量方法解决下面的问题呢？这也是今天我们的作

业！

【评析】复盘用向量方法解决立体几何问题的步骤与方法，加深了对本节知识的理解和思想方法的掌握程度，从而促进数学理解．

（4）课后作业

练习1.如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//DC，ABC450，DC1,AB2,PA平面ABCD，PA1. (1)求证：BC平面PAC；

(2)若点M,N分别是PC,PB的中点，求直线MN与平面ADM所成的角的大小．

练习2.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2,AC4，ACBACD的中点，AFPB．

(1)求PA的长；

(2)求二面角BAFD的正弦值．

3,F为PC

. 【评析】通过作业，进一步内化学生的认知结构，让学生进一步体会向量方法的应用．

二、教学反思

本课力图尝试在解决实际生活问题的过程中，让学生归纳出主要知识点与解决问题的步骤与方法，完成知识结构图．通过教学实践，认识到多一点精心预设，就能融一份动态生成，体会到由“关注知识”转向“关注学生”的内涵，注意到由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”．

可取之处：教学设计打破常规，不走寻常路，利用两个实例的探究完成本节课的教学目标，突出了以生为本，探索了小结课的一种新做法．

改进之处：力求对全节全部内容进行归纳总结，给学生思考的时间不是很多，由于课堂容量的限制，学生对于采用适合的向量方法解决立体几何问题的理解需要延伸要课下，课上教学反馈情况不够显性．

三、教学点评

本节单元小结课通过解决实例问题，归纳、形成本章的知识点来完善学生的知识结构体系，提高学生整合和运用知识解决问题的能力，并通过用课本上不同的方法，更加突出了向量方法在立体几何问题中的灵活性与优势。

1．解中求知，串知成链

本次课程中，运用向量法求解立体几何问题进而归纳方法作为一条主线贯彻始终。教师在对教材深层次的理解的基础上，进行“改编创造”，选用学生熟知的立体几何模型切入，并采用先解决数学问题，再归纳总结和一题多解的形式，让学生从解题过程中不仅复习所学知识、将思想方法有效地串通起来，还体会了向量的思想方法在解决立体几何问题中的应用，并熟悉用向量法解决立体几何问题的“三步曲”，达成了解中求知、串知成链的效果．

2 .探究实例，有效建构

此次课内容涉及了本节的三个主要知识点，但教师并没有罗列式的直接抛出，也不是急于将这些知识点显示，而是让学生先自主解决立体几何问题，留给学生思考与探索的时间，然后再通过引导解决问题以及评析探讨，让知识点逐步体现。情景交融、隐性渗透，让静态的知识结构演化成动态的知识网络，使学生在有效地建构本节知识体系的同时，感受向量方法在立体几何中的应用，进一步体会数形结合、化归的数学思想。