复习参考题第一课时评课稿

《直线、圆的综合问题（第一课时）》高一数学导学案

广州市番禺区象贤中学

何爱莲

一、学情分析：

本班是平行班，加之学生在初中的时候一直使用计算器，因此学生运算能力比较薄弱，有畏惧心理，容易放弃。昨天刚学习完必修二第四章4.2直线与圆、圆与圆的位置关系，我们计划用两节课进行直线、圆的综合问题的复习课，与学生一起梳理直线、圆的综合应用问题：求圆的切线方程；已知圆的弦长，求弦长所在的直线方程；利用代数法解决直线与圆的综合问题；求与圆相关的最值问题；求圆的方程（轨迹方程）。本节单元复习课（第一课时）重在前面两个应用问题；第二课时侧重后面两个应用问题。

二、教学目标：

1.提升方法：熟练运用几何法或代数法解决本节课的三个问题：判断直线与圆、圆与圆的位置关系；求圆的切线方程或圆的弦所在直线方程；解决直线与圆的综合问题。

2.提升能力，形成高效解题的模式：审题，数形结合，选用适当的方法（几何法或代数法）解题。

三、教学重难点：

熟练运用几何法或代数法求圆的切线方程或圆的弦所在直线方程；解决直线与圆的综合问题。

四、教学过程：

环节一【课堂引入】

教师与学生共思考：圆的两个必备条件，圆心与半径相比较，你觉得哪个更重要？

圆心更为重要。因为，无论你的半径有多长，没有圆心这个支点，你永远也无法画一个成功的圆。学业或职业生涯设计之初首先要确定一个圆心，这个圆心就是我们要达成的目标。

因此，我们本节课也要明确学习目标：熟练运用几何法或代数法解决本节课的三个问题：判断直线与圆、圆与圆的位置关系；求圆的切线方程或圆的弦所在直线方程；解决直线与圆的综合问题。

环节二【知识与方法回顾】

（一）直线与圆的位置关系

直线Ax＋By＋C＝0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断

位置关系

公共点个数

设圆心到直线的距离

几何法

相交

个

相切

个

相离

个

d由|AaBbC|代数法



222(xa)(yb)rA2B2AxByC0

d r

d r

d r

 0

 0

 0 消元得到一元二次方程的判别式Δ

（二）圆与圆的位置关系

222设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)＋(y－b2)＝r2(r2>0). 方法

几何法：圆心距d与r1，r2的代数法：两圆方程联立组成方位置关系

关系

程组的解的情况

外离

d

r1＋r2

无解

外切

一组实数解

相交

两组不同的实数解

内切

一组实数解

内含

无解

1

环节三【课前检测】

1.若直线x＋my＝2＋m与圆x＋y－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为(

) A．(－∞，＋∞)

B．(－∞，0)

C．(0，＋∞)

D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(1,1)，半径r＝1. 22|1＋m－2－m|因为直线与圆相交，所以d＝0或m<0.故选D.

2.

(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.

解析：22

几何法[由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝代数法：求交点A,B

3.已知圆M：x2＋y2－4y＝0，圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆M与圆N的公切线条数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 解析：选B

由题意可知，圆M的圆心为(0,2)，半径为2，圆N的圆心为(1,1)，半径为1，MN＝2，且1<2<3，所以圆M与圆N相交，则圆M与圆N的公切线有两条，故选B.

4.(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．

解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝a2＋2，|0－a＋2a||a|232|a|2因为|AB|＝23，点C到直线y＝x＋2a的距离d＝＝，由勾股定理得＋＝a2＋2，2222解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.

答案：4π

5.(2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：22(x－1)＋(y－1)＝1的位置关系是(

) A．内切

B．相交

C．外切

D．相离

a解析：选B

由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以22a2a－＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故22|－1－1|＝2，所以|AB|＝222－22＝22.] 2两圆相交．

6.当曲线y＝1＋4－x2与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是(

) 51，3

0，

A．B．1234535，＋∞

，

C．D．12412解析：C

[曲线y＝1＋4－x2是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2,4)的直线．

2

设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4，圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即|－1－2k0＋4|5＝2，k＝. 02121＋k03直线PA的斜率为k1＝. 4所以，实数k的取值范围是53＜k≤.] 124

7.已知直线l：kx－y－2k＋5＝0与圆C(x－1)2＋(y－3)2＝9相交，当直线l被圆C所截得的弦长最小时，则直线l的方程

，最短弦长为

解析：直线l：kx－y－2k＋5＝0，即(x－2)k－(y－5)＝0，

5－3可知直线l过定点M(2,5)，则kCM＝＝2. 2－1由于点M在圆C内，所以当弦长最小时，CM⊥直线l，

11所以直线l的斜率k1＝－＝－，

kCM2所以直线l的方程为x＋2y－12＝0. 最小弦长为2×32－|CM|2＝2×9－5＝4.

环节四【典例分析】

例1.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l过定点A(1,0)．

(1)若l与圆C相切，求l的方程；

(2)若l与圆C相交于P，Q两点，且|PQ|＝22，求此时直线l的方程.

[解]

(1)若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝1，符合题意．

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. |3k－4－k|3由题意知，圆心(3,4)到直线l的距离等于2，即＝2，解得k＝，此时直线l的方程为3x－24k＋14y－3＝0. 综上可得，所求直线l的方程是x＝1或3x－4y－3＝0. (2)由直线l与圆C相交可知，直线l的斜率必定存在，且不为0，设直线l的方程为k0x－y－k0＝0，圆心(3,4)到直线l的距离为d，

因为|PQ|＝24－d2＝22，所以d＝2，

即|3k0－4－k0|＝2，

k2＋10解得k0＝1或k0＝7，

所以所求直线l的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.

3

思考（在PPT展示）：

（3）若l过点B(2,43),且与圆C相切，求l的方程。

解析：点B在圆上，利用直线CB垂直切线，求出切线斜率。

【方法小结】

变式1、如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A交于M，N两点．

(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．

[解]

(1)设圆A的半径为r. ∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，

|－1＋4＋7|∴r＝＝25. 5∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝－2，易得|MN|＝219，符合题意；

②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.取MN的中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN. ∵|MN|＝219，

∴|AQ|＝20－19＝1，

∴|k－2|3＝1，得k＝，

4k2＋1∴直线l：3x－4y＋6＝0. 综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.

例2.已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值.

[解]

设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．

由OP⊥OQ，得kOP·kOQ＝－1，

y1y2即·＝－1，x1x2＋y1y2＝0.①

x1x2x＋2y－3＝0，又(x1，y1)，(x2，y2)是方程组22的实数解，即x1，x2是方程5x2＋10x＋4m－27＝x＋y＋x－6y＋m＝0

0②的两个根，

4m－27所以x1＋x2＝－2，x1x2＝.③

5因为P，Q在直线x＋2y－3＝0上，

11所以y1y2＝(3－x1)·(3－x2) 22

4

1＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．

4m＋12将③代入，得y1y2＝.④

5将③④代入①，解得m＝3.代入方程②，检验Δ＞0成立，

所以m＝3.

【方法小结】

变式2、(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．

―→―→(1)求k的取值范围；(2)若OM·ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

|2k－3＋1|4－7解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.因为直线l与圆C交于两点，所以<1，解得31＋k24＋74－74＋7.

1＋k2

环节五【课后揣摩：巧用几何法或代数法，等待你去挖掘它们的本质】

温馨提示：求切线方程或弦所在直线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况。

（教师结语，呼应课堂引入）

学习或职业生涯的过程好似一个圆,“圆心”——目标是引领我们取得成功的首要条件. 我们刚选科，下周马上分班了，自己是否认真想过：我为什么选这三科？选这三科我未来要做什么，十年后我过什么生活，六年后我要做什么工作，两年后我要考什么大学什么专业，当下高一我应如何学，本节课我达到学习目标了吗？

1.若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(

) 12A. B．1

C. D.2 222.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(

) 53325443A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－

35234534

3.若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：1－y－12＝x－1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(

) 44，4

，2

A．B．33

5

44－2，－∪，2

C．334，＋∞

D．3

4.

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________

5.过点(2,0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为10，求该直线方程。

6.在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y＝x(x≥0)上，且|OC|＝22. (1)求圆C的方程；(2)若直线l过点P(1,0)，且与圆C相切，求直线l的方程.

7.已知圆C经过坐标原点, 且与直线xy20相切，切点为A2,4.

（1）求圆C的方程;

（2）若斜率为1的直线l与圆C相交于不同的两点M、N, 求AMAN的取值范围.

6

《直线与圆的综合问题例析》教学评价与反思

番禺区象贤中学 高一数学备课组 何爱莲 授课点：象贤中学

本班是平行班，加之学生在初中的时候一直使用计算器，因此学生运算能力比较薄弱，有畏惧心理，容易放弃。昨天刚学习完必修二第四章4.2直线与圆、圆与圆的位置关系，我们计划用两节课进行直线、圆的综合问题的复习课，与学生一起梳理直线、圆的综合应用问题：求圆的切线方程；已知圆的弦长，求弦长所在的直线方程；利用代数法解决直线与圆的综合问题；求与圆相关的最值问题；求圆的方程（轨迹方程）。本节单元复习课（第一课时）重在前面两个应用问题；第二课时侧重后面两个应用问题。

本节课是一堂“同课异构”的复习课，也是高中数学与生涯教育相融合的课。主要让学生熟练运用几何法或代数法解决本节课的三个问题：判断直线与圆、圆与圆的位置关系；求圆的切线方程或圆的弦所在直线方程；解决直线与圆的综合问题。且形成高效解题的模式：审题，数形结合，选用适当的方法（几何法或代数法）解题。

在教学中，组织学生自主观察、思考、分析，并深刻剖析直线是圆的切线的判定条件和直线与圆相切的性质以及弦长解决方式，并对重要的结论及时总结。

在教学中，以“作图---观察—分析—选解题方法——展示—归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，层层递进变式教学。

本节课能以学生为主体，给充足的时间学生进行小组讨论，小组能力强的学生指导其他同学，老师到每一个学习小组去巡查了解错因，更好地了解把握学生掌握知识的情况；强调学生动手做，动手算，以及注重了数形结合、分类讨论的思想，但从例1看出学生没有对直线的斜率是否存在分类讨论，让学生

7

再动手做变式1，因此在这部分内容的讲授时间拖长了，讲授完例2，例2的变式题目没有时间做了，但因为解决直线与圆的综合问题，需要联立方程组消元，韦达定理建立坐标关系，这个是难点，因此自己也不是为了完成课堂内容而加快速度讲，还是扎实把每一步以及隐含范围讲授完。但在这过程中，对学生的运算能力与作图能力的培养不够。

在以后的教学中，应该给予学生充足的时间去作图并计算。生认知水平与认知结构，做到心中有数。同时注意设问的技巧，同时上课应有慢的节奏，给予学生思考的时间，逐步地完善思维过程。

8 应充分了解学