小结第二课时 公开课

导数及其应用

【教学目标】

1、进一步了解导数的几何意义；

2、利用导数研究单调性(含参量与不含参量)问题；

3、由函数单调性和导数的关系，求参数的范围；

4、体会等价转化、分类讨论、转化化归等数学思想. 【重点难点】

1、导数切线问题和利用导数研究函数的性质；

2、如何利用函数的单调性解决函数的相关问题. 【学法指导】

在教师的引导下，自主探究，归纳总结. 【知识归纳】

1、求曲线的切线方程，切线斜率的一类问题，包括曲线的切点问题．这类问题是导数几何意义的运用，拓宽了解析几何的解题思路，凸显了数形结合的数学思想方法. 2、应用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题．这类问题往往通过对函数求导转化为解不等式问题. 3、不等式恒成立问题．这类问题是近几年高考的热点．即求参数取值范围，它是函数、导数与不等式的综合问题. 【教学过程】

热点一、导数的几何意义 例1、已经曲线C：yx3x2和点P(1,2). （1）求在点P处的切线方程. （2）求过点P处的切线方程. 小结：

①“曲线在点P处的切线”是以点P为切点；

②“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标. 注意：本例题由学生独立思考完成，

并由学生自主讨论解题过程中出现的问题，最后教师总结导数的几何意义“在”与“过”的区别。

热点2、利用导数研究函数的性质——图像问题

例2、函数yfx的导函数yfx图像如图所示，则函数yfx的图像可能是（ ）

A.

B.

C. D.

1

变式：已知函数yfx的图象是下列四个图象之一，且其导函数yfx的图象如图所示，则该函数的图象是( )

小结：

①f(x)的正负决定函数的单调性；

②f(x)的大小决定函数增减的快慢. 本题考查学生对函数的图像与函数导数之间的关系，属于较易内容，大部分学生能独立完成。

热点3：导数与函数的单调性讨论——不含参量

例3、已知函数fx(x22x)ex，aR，求函数fx的单调区间.

变式：已知函数fxlnx，求函数fx的单调区间. x

小结：

用导数求函数单调区间的步骤：

①求定义域；

②求函数fx的导数f(x)；

③求根；

④列表（特值法或结合导函数图象定正负）；

⑤求单调区间. 本例题解题思路简明，学生能基本掌握，但部分学生在解题过程中容易忽略掉函数的定义域。

热点4：导数与函数的单调性讨论——含参量

例4、已知函数fxexax1，求fx的单调区间.

1变式1、已知函数fxax2lnx(a1)x，a1，讨论fx的单调性. 2

1变式2、已知函数fxlnxx22kx，kR，讨论fx的单调性. 2

2

小结：

含参函数的单调性讨论

①有根、无根讨论；

②根在区间内外讨论；

③根大、根小、根等讨论；

④高次项系数正、负、0讨论；

⑤以上四种情况的综合运用：关键是先确定《被讨论参数》的临界值，然后再分步讨论. 本例题，是上一道例题的升华，学生对分类讨论思想掌握不够完善，导致解题思路混乱，书写不清楚，需要教师认真板书，并归纳总结。

热点5：导数与函数的单调性应用——求参量

例5、已知函数fx(x2ax)ex，aR，若函数fx在(1,1)上单调递增，求实数a的取值范围.

变式：函数fxx3ax2在区间1,内是增函数，求实数a的取值范围.

本例题考查学生对函数的导数的简单应用，在解题过程中学生容易对等号的取舍无法掌握，需要教师教学中指导。

【课堂小结】

1、求函数的切线方程注意审题. 2、利用导数研究函数的单调性时，应注意哪些问题？

3、如何利用函数的单调性解决函数的其他相关问题？

【教学反思】

本节课学生的互动还是不错的，学生回答问题积极。在整堂课上强调学生的思考，强调学生的主动思考，主动发现。在导入时例1第2小题是易错题，虽然加以强调，但是总结还是不够深刻。对过一点作函数的切线，当点在函数图像上时可能会出现多条切线，未提出。属于个人专业层面上的问题。例4的问题部分学生掌握还不够充分，导致学生书写凌乱，思考不到位。在后期练习中还应该加强这类问题的研究。

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