4.3.2 空间两点间的距离公式教案教学设计导入设计

4.3.2

空间两点间的距离公式

教学目标：1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题. 2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力. 3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 教学准备

：多媒体课件

教学过程：

我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x1-x2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=(x2x1)2(y2y1)2.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 提出问题

1.数轴上两点间的距离公式是什么？

2.在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？

3.

在空间直角坐标系中，若已知两点坐标，则这两点的距离是唯一确定的，我们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此我们从理论上来探究。

活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导. 讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)2(y2y1)2,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.

图1 ②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原点的距离是

d=x2y2z2. ③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算. ④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)2(y2y1)2,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方. ⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆;在空间x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面;后者正是前者的推广.

图2 ⑥如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=(x2x1)2(y2y1)2. 再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|. 在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=(x2x1)2(y2y1)2,根据勾股定理,得|P1P2|=|P1H|2|HP2|2=(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2.因此空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2.

于是空间两点之间的距离公式是d=(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.[来源:Z_xx_k.Com]

应用示例：

例1 求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路

例2. 在z轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距离的点．因此,到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0. 课堂训练：

1.如图，在长方体OABC-D′A′B′C′中，|OA|=3，|OC|=4，|OD′|=3，A′C′与B′D′相交于点P.分别写出点C，P的坐标，并求点C到点P的长度.

ADzBCPAOBCyx2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，三点的坐标为

A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x=_____. 3．若点P(x，y，z)到A(1，0，1)，B(2，1，0)两点的距离相等，则x、y、z满足的关系式

是________________.

课堂小结：

1.空间两点间的距离公式的推导与理解. 2.空间中点坐标公式. 作业：

习题4.3 B组1、2题.

板书设计： 4.3.2 空间两点间的距离公式

平面两点间的距离公式 例1 空间两点间的距离公式 例2

教学反思:

本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察

问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.