2.1.4 平面与平面之间的位置关系优质课教案内容

石家庄市栾城区第二中学高一数学导学案

高一数学必修二第二章 直线与平面垂直的判定

学案类型：导学学案 使用时间： 月 日 编制人：高一数学组 总第 页

【课前准备】预习教材P64~P67的内容，记下困惑处并思考下列问题．

（1）当两条直线所成的角为 时，称这两条直线互相垂直；此时这两条直线的位置关系是 或 . （2）广场上的旗杆给我们以旗杆垂直于广场平面的形象，如何从数学的角度来判断旗杆与广场的垂直？

【学习目标】

通过本节课的学习，同学们要能够理解直线与平面垂直的定义、直线与平面所成的角的概念，能够掌握直线与平面垂直的判断定理及其应用，会求直线与平面所成的角. 【重点难点】直线与平面垂直的判定定理及其应用既是重点也是难点. 【过程方法】

小组合作探究

探究1、直线与平面垂直的定义：

A动动手：同学们将三角板直立在桌面上（如图），观察边AB与桌面的位置关系怎样？绕AB边转动三角形，边AB与边BC始终垂直吗？在转动过程中，把BC看成C是桌面上的不同直线，你能得出什么结论？

B

思考：（1）如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它垂直这个平面吗？

（2）如果用定义来证明直线与平面垂直好证吗?你感觉难在哪里？

探究2：直线与平面垂直的判定定理：

动动手：同学们准备一块三角形纸片，过顶点A随意翻折纸片得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（要求BD、DC与桌面接触），折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使得AD与桌面垂直？

你的发现是： ．

A直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都 ，则该直线与此平面 ．

符号语言：

．

思考：（1）折痕AD与桌面内的一条直线垂直时，能判断AD垂直桌面吗？若与桌面内两条直线垂直甚至无数条直线垂直时，能判断AD垂直桌面吗？动手试一试？

（2）理解直线与平面垂直的判定定理最关键的几个字在哪里？

（3）通过以上内容的学习，你认为判断直线与平面垂直有哪些方法，并比较它们的优劣？

探究3：直线与平面所成的角：

画出下列直线在平面上的正投影：

PAABA BA

斜线：

．

斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

思考：（1）要找出直线在平面上的正投影（也叫射影），最关键一点是什么？

（2）直线与平面所成的角的范围是什么？并把它与两条异面直线所成的角的范围作比较以示区别．

（3）两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？

典型例题：

【例1】如图，在三棱锥VABC中，VAVC，ABBC，求证：VBAC

【分析】取AC中点D，连接VD，BD，只需证明AC平面VBD．

【解析】

V

A

BCDABDBDADCCCB

C

石家庄市栾城区第二中学高一数学导学案

【小结】直线与平面垂直的判定定理通常可以在证明线面垂直或线线垂直中发挥作用．

【例2】如图，在正方体ABCDA1BC求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．

11D1中，【分析】证明BM是平面A1B1CD的垂线，A1M是BM在平面A1B1CD内的射影．

【解析】

A1

A

【小结】求线面角，关键的问题是如何找出斜线在平面内的射影．

动动手：如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，

(1)

求证：B1DAC11，

(2)

B1D平面AC11B；

【解析】

AD1B1MDBCC1D1A1B1C1DBC

【总结归纳】

【限时训练】

1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于

（

）

A．平面OAB

B．平面OAC

C．平面OBC

D．平面ABC

EF把这2．在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现沿SE、SF、个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合于点G，则有

（

）

A．SG⊥平面EFG

B．EG⊥平面SEF

C．GF⊥平面SEF D．SG⊥平面SEF

3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（

）

A．

90°

B．

60°

C．

45°

D．

30°

4．若平面内的一条直线与该平面的一条斜线垂直，那么它与这条斜线在平面内的射影的位置关系是

，若平面内的一条直线与该平面的一条斜线的射影垂直，那么它与这条斜线的位置关系是

．

*5．设三棱锥PABC的顶点P在底面ABC上的射影是H，给出以下说法：

①若PABC，PBAC，则H是ABC垂心；

②若PA,PB,PC两两互相垂直，则H是ABC垂心；

③若点P到三角形三边的距离相等，H是ABC的内点；

③若PAPBPC，则H是ABC的外心．

其中正确说法的序号是

．

6．在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD所成角的正弦值.

【解析】

A

E

B

D H

F

C

【课后作业】