第四章 圆与方程（通用）教案设计（一等奖）

4.1.1 圆的标准方程

教学设计

一、教学分析

《圆的标准方程》安排在高中数学必修二第四章第一节。它是在圆的概念和基本性质的基础上运用“曲线与方程”理论解决具体二次曲线的一个实例。这节对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习提供了一种基本模式和理论基础。所以本节内容在整个解析几何的学习中起着承前启后的作用。

二、教学目标

（一）知识与技能

(1)掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程．

(2)会用待定系数法求圆的标准方程．

（二）过程与方法

进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．

（三）情感态度与价值观

通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣．

三、教学重点

圆的标准方程．

四、教学难点

会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．

五、课时安排

第1课时

六、教学过程设计

教学环节

教学内容

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可师生互动

设计意图

设置情境引入课题

复习引入

由学生回答，然后引入课题

用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r (其中a、b、r都是常数，r＞0)设M

(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P

= {M|MA| = r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件引导学生自己证明(x

–

a)2

+ (y

–

b)2

= r2为圆的方程，得出结论.方程②就是圆心为A

(a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程. (xa)2(yb)2r

①概念形成

化简可得：(x

–

a)2 + (y

–

b)2 = r2②–5

6

–

–

4

–

–

2

–

–

–

–2 –

–

–4

–

–

–

A

M

5

过自明学探力. 通学生己证培养生的究能

例1

写出圆心为A

(2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断引导学生分析探究从计算点到圆心的距离入手.点M1(5，–7)，M2(5,1)是否在

例1

解：圆心是A(2，这个圆上.–3)，半径长等于5的圆的标通分析探求：可以从计算点到圆准方程是(x + 3)2 + ( y + 3)2

过实例=25.心的距离入手.引导学探究：点M(x0，y0)与圆(x

–

a)2

把M1 (5，–7)，M2

生掌握+ (y

–

b)2 = r2的关系的判断方法：(5，–1) 的坐标代入方程求圆的2222（1）(x0

–

a) + (y0

–

b)＞r，(x

–2) + (y +3)2 =25，左右两标准方点在圆外.边相等，点M1的坐标适合程的两（2）(x0

–

a)2 + (y0

–

b)2 = r2，圆的方程，所以点M2在这种方法. 点在圆上. 个圆上；把M2

(5，–1)（3）(x0

–

a)2 + (y0

–

b)2 ＜r2，的坐标代入方程(x

– 2)2 + (y

点在圆内. +3)2 =25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上应用举例

例2 △ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程.例2

解：设所求圆的方程是(x–

a)2 + (y

–

b)2 = r2.

①因为A (5，1)，B (7，–3)，C (2，–

8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是师生共同分析：从圆的标准方程(x

–

a)2 + (y

–

b)2 = r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决) (5a)2(1b)2r2222(7a)(3b)r222(2a)(8b)r解此方程组，得a2b32r25所以，△ABC的外接圆的方程是(x– 2)2 + (y +3)2 =25. 例3 已知圆心为C的圆C. 经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在l : x –

y + 1 = 0上，求圆心为C的圆的标准方程.比较例(2)、例（3）可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法：

①根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的根据确定圆师生共同分析：如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，–2)，由于圆心C与A、B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于|CA|或|CB|.(教师板书解题过程)

的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 练习：课本P127

第1、3、4题

A C m B

例3

解：因为A (1，1)，B (2，–

2)，所以线段3AB的中点D的坐标为(，21)，直线AB的斜率

2kAB =21= –3，

21因为线段AB的垂直平分线l′的方程是

113y +(x)，

232即x –3y

–3 = 0. 圆心C的坐标是方程组

x3y30的解. xy10解此方程组，得

x3

y2所以圆心C的坐标是(–3，–2) . 圆心为C的圆的半径长

r

=|AC|=(13)2(12)2= 5. 所以，圆心为C的圆的标准方程是

(x + 3)2 + (y +2)2 =25.

1．圆的标准方程. 2．点与圆的位置关系的判断方法. 3．根据已知条件求圆的标准方程的方法. 布置作业：习题4.1 A组2、3 归纳总结

教师启发，学生自己比较、归纳. 形成知识体系

课外作业

学生独立完成

巩固深化

（1）把圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2 激发新疑

展开后是什么形式? (2)方程x

+ y-6x+8y+20=0表示什么图形？

22 学生课后自主完成

本节知识的巩固与延伸

七、板书设计

4.1.1 圆的标准方程

1、圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2

2、点Mc(x0,y0)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：

(x0-a)+(y0-b)=r点M0在圆上；

(x0-a)2+(y0-b)2

(x0-a)2+(y0-b)2>r2点M0在圆外。

222

3、

求三角形外接圆的方法：

（展示区域）

（1）待定系数法；

（2）几何法。