2.1.4 平面与平面之间的位置关系PPT专用教学设计内容

1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理；

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

(4)公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．[来源学#科#网]

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．

2．空间中两直线的位置关系

(1)位置关系的分类

平行共面直线相交

异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

π②范围：0，．

2(3)平行公理和等角定理

①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．

(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

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高频考点一

平面基本性质的应用

例1、如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：

(1)E、C、D1、F四点共面；[来源:Z§xx§k.Com]

(2)CE、D1F、DA三线共点．[来源学科网ZXXK]【感悟提升】(1)证明线共面或点共面的常用方法

①直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面. ②纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内. ③辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合. (2)证明点共线问题的常用方法[来源:Z.xx.k.Com]

①基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上. ②纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上. 【变式探究】如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝11∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G、H分别为FA、FD的中点．

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(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？

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高频考点二

判断空间两直线的位置关系

例2、(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(

) A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(

)

A．MN与CC1垂直

B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行

D．MN与A1B1平行

(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)

【感悟提升】

(1)异面直线的判定方法

①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面. ②定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系. 【变式探究】(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(

) 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的精品资源.

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A.MN与CC1垂直

C.MN与BD平行

B.MN与AC垂直

D.MN与A1B1平行

(2) a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为(

) A.①④

B.②③

C.③④

D.①②

高频考点三

求两条异面直线所成的角

例3、[2017·全国卷Ⅱ]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(

) A.315103

B.

C.

D.

2553【变式探究】

(1)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为_______________________________________．

(2)空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．

【感悟提升】(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移. (2)求异面直线所成角的三个步骤

①作：通过作平行线，得到相交直线的夹角. 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的精品资源.

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②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角. ③求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 【变式探究】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(

) 1A.

53C.

5

2B.

54D.

5

1. （2018年浙江卷）已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则

A. θ1≤θ2≤θ3

B. θ3≤θ2≤θ1

C. θ1≤θ3≤θ2

D. θ2≤θ3≤θ1

2. （2018年全国Ⅱ卷理数）在长方体所成角的余弦值为

A. B. C. D.

中，，，则异面直线与1、[2017·全国卷Ⅱ]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(

) A.315103

B.

C.

D.

25531.【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,I平面ABCD=m,I平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为

(A)1323

(B)

(C)

(D)

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2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, AFD90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．

（I）证明：平面ABEF平面EFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值．

3.【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5,AC6，点E,F分别在AD,CD上，AECF5，EF交BD于点H．将DEF沿EF折到DEF位置，4OD10．

（Ⅰ）证明：DH平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角BDAC的正弦值．

1.【2015高考四川，理18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N

（1）请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）

（2）证明：直线MN//平面BDH

（3）求二面角AEGM的余弦值. 名师解读，权威剖析，独家奉献，打造不一样的精品资源.

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2.【2015高考湖北，理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE,DF,BD,BE. （Ⅰ）证明：PB平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为πDC，求的值．

3BC

3.【2015高考广东，理18】如图2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3.点E是CD边的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．

（1）证明：PEFG；

（2）求二面角P-AD-C的正切值；

（3）求直线与直线所成角的余弦值．

1．（2014·辽宁卷）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(

) A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

2．（2014·福建卷）在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5所示．

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(1)求证：AB⊥CD；

(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

图1-5 3．（2014·新课标全国卷Ⅱ）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(

) 12302A.

B.

C.

D.

1051024．（2014·四川卷）三棱锥A -

BCD及其侧视图、俯视图如图1-4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP. (1)证明：P是线段BC的中点；

(2)求二面角A -

NP -

M的余弦值．

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9 [来源:Z+xx+k.Com]