1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教案设计

【课题】9.5 柱、锥、球及其简单组合体(一)

【教学目标】

知识目标：

（1）了解棱柱、棱锥的结构特征；

（2）掌握棱柱、棱锥面积和体积计算.

能力目标：

培养学生的观察能力，数值计算能力及计算工具使用技能. 【教学重点】

正棱柱、正棱锥的结构特征及相关的计算．

【教学难点】

正棱柱、正棱锥的相关计算．

【教学设计】

教材首先介绍了多面体、旋转体的概念．然后通过观察模型，说明棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的结构特征及其面积、体积的计算公式．正棱柱的侧面积、全面积、体积的计算公式经常使用，不要把侧面积、全面积计算公式记混了．

侧面都是全等的矩形的直四棱柱不一定是正四棱柱．底面是正方形的四棱柱不一定是正四棱柱．四棱锥P-ABCD中，如果棱锥的侧棱长相等，那么它一定是正四棱锥．如果棱锥的底面是正方形，那么它不一定是正四棱锥．

例1是求正三棱柱的侧面积和体积的题目，例2是求正三棱锥的侧面积和体积的题目，要记住边长为a的正三角形的面积为S32a．

4【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教

学

过

程

*揭示课题

9.5 柱、锥、球及其简单组合体

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

介绍

了解

0

【知识回顾】

在九年制义务教育阶段，我们学习过直棱柱、圆柱、圆锥、

教

学

过

程

球等几何体．

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

质疑

讲解

说明

引导

分析

思考

思考

启发

学生思考

引导

学生

分析

10

（1）

（2）

（3）

（4）

图9−55

象直棱柱（图9−55（1））那样，由若干个平面多边形围成的封闭的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的交点叫做多面体的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线. 像圆柱（图9−55（2））、圆锥（图9−55（3））、球（图9−55（4））那样的封闭几何体叫做旋转体．

*创设情境

兴趣导入

【观察】

图9−56 观察图9−56所示的多面体，可以发现它们具如下特征：

（1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形；

（2）每相邻两个四边形的公共边互相平行．

*动脑思考

探索新知

【新知识】

有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体叫做棱柱,互相平行的两个面，叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面．相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．两个底面间的距离，叫做棱柱的高．

图9−56所示的四个多面体都是棱柱．

表示棱柱时，通常分别顺次写出两个底面各个顶点的字母，中间用一条短横线隔开，例如，图9−56(2)所示的棱柱，可以记作棱柱ABCDA1B1C1D1，或简记作棱柱AC1．

讲解

说明

思考

教

学

过

程

经常以棱柱底面多边形的边数来命名棱柱，如图9−56所示的棱柱依次为三棱柱、四棱柱、五棱柱．

侧棱与底面斜交的棱柱叫做斜棱柱,如图9−56（2）；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，如图9−56（1）；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，如图9−56（3）和（4），分别为正四棱柱和正五棱柱．

正棱柱有下列性质：

（１）侧棱垂直于底面，各侧棱长都相等，并且等于正棱柱的高； （２）两个底面中心的连线是正棱柱的高．

[想一想] 如果直四棱柱的侧面都是全等的矩形，它是不是正四棱柱？如果四棱柱的底面是正方形，它是不是正四棱柱？

【新知识】

正棱柱所有侧面的面积之和，叫做正棱柱的侧面积．正棱柱的侧面积与两个底面面积之和，叫做正棱柱的全面积．

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

引领

分析

仔细

分析

关键

语句

理解

记忆

带领

学生

分析

25

图9−57

观察正棱柱的表面展开图（图9−57），可以得到正棱柱的侧面积、全面积计算公式分别为

S正棱柱侧ch （9.1）

S正棱柱全ch2S底

（9.2）

其中，c表示正棱柱底面的周长,h表示正棱柱的高,S底表示正棱柱底面的面积. 可以得到正棱柱的体积计算公式为（公式推导略）

V正棱柱S底h （9.3）

其中, S底表示正棱锥的底面的面积，h是正棱锥的高. *巩固知识

典型例题

【知识巩固】

教

学

过

程

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

观察

思考

主动

求解

思考

理解

通过例题进一步领会

带领学生

思考

例

1

已知一个正三棱柱的底面边长为4 cm，高为5 cm，

求这个正三棱柱的侧面积和体积．

解

正三棱锥的侧面积为

说明

2

S侧＝ch＝3×4×5 ＝

60（cm）．

强调

由于边长为4

cm的正三角形面积为

34243（cm2），

4所以正三棱柱的体积为

3

引领

【小提示】

VS底h435=203（cm）．

讲解

说明

【软件连接】

利用几何画板可以方便地作出棱柱的直观图形．方法是：

首先选中所以绘制棱柱的名称（图9−58），然后选择合适的位

置，点击并拖动，即可得到棱柱的直观图形（图9−59），最后

再标注字母．

讲解

说明

32a．

边长为a的正三角形的面积为S4

图9−58

教

学

过

程

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

35

质疑

引导

分析

思考

启发

学生思考

40

图9−59

*创设情境

兴趣导入

观察图9−60所示的多面体，可以发现它们具如下特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点．

(3) 图9−60 *动脑思考

探索新知

思考

带领

学生

分析

【新知识】

具备上述特征的多面体叫做棱锥．多边形叫做棱锥的底面

（简称底），有公共顶点的三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面

的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的

高．底面是三角形、四边形、……的棱锥分别叫做三棱锥、四

棱锥、……．通常用表示底面各顶点的字母来表示棱锥．例如，

图9−60（2）中的棱锥记作：棱锥SABCD．

底面是正多边形，其余各面是全等的等腰三角形矩形的棱讲解

锥叫做正棱锥．图9−60中（1）、（2）分别表示正三棱锥、正说明

四棱锥．

正棱锥有下列性质：

（1）各侧棱的长相等；

（2）各侧面都是全等的等腰三角形．各等腰三角形底边

教

学

过

程

上的高都叫做正棱锥的斜高；

（3）顶点到底面中心的连线垂直与底面，是正棱锥的高；

（4）正棱锥的高、斜高与斜高在底面的射影组成一个直角三角形； （5）正棱锥的高、侧棱与侧棱在底面的射影也组成一个直角三角形．

【想一想】

四棱锥P-ABCD中，如果棱锥的侧棱长相等，那么它是不是正四棱锥？如果棱锥的底面是正方形，那么它是不是正四棱锥？

【新知识】

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

引领

分析

讲解

理解

思考

记忆

带领

学生

分析

52

57

说明

图9−61 观察正棱锥的表面展开图（图9−61），可以得到正棱锥的

引领

侧面积、全面积（表面积）计算公式分别为

分析

1 S正棱锥侧ch （9.4）

2

1

S正棱锥全chS底.

（9.5）

2其中,c表示正棱锥底面的周长,h是正棱锥的斜高,S底表示正棱锥的底面的面积，h是正棱锥的高. *创设情境

兴趣导入

思考

带领

学生

分析

理解

记忆

带领

学生

分析

【实验】

质疑

准备好同底等高的正三棱锥与正三棱柱形容器，将正三棱

锥容器中装满沙子，然后倒入正三棱柱形状的容器中，发现：连续倒三次正好将正三棱柱容器装满．

*动脑思考

探索新知

【新知识】

实验表明，对于同底等高的棱锥与棱柱，棱锥的体积是棱柱体积的三分之一．即

讲解

说明

V正棱锥1S底h. （9.6）

3

教

学

过

程

其中, S底表示正棱锥的底面的面积，h是正棱锥的高. *巩固知识

典型例题

【知识巩固】

例

2

如图9−62，正三棱锥P-ABC中，点O是底面中心，PO＝12 cm，斜高PD＝13 cm．求它的侧面积、体积（面积精确到0.1cm2，体积精确到1cm3）．

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

62

72

80

说明

强调

观察

思考

主动

求解

通过例题进一步领会

图9−62

解

在正三棱锥P-ABC（图9−62）中，高PO＝12

cm，斜高PD＝13

cm．

在直角三角形POD中，

OD＝PD2PO2＝132122

＝5（cm）．

在底面正三角形ABC中，

CD＝3OD＝15（cm）．

所以底面边长为

AC＝10所以侧面积与体积分别约为

引领

讲解

说明

3

cm．

11S侧ch310313 ≈337.7（cm2）．

22111V正棱锥S底h(103)2sin6012≈520（cm3）．

332*运用知识

强化练习

1. 设正三棱柱的高为6，底面边长为4，求它的侧面积、全面积及体积.

2. 正四棱锥的高是a，底面的边长是2a，求它的全面积与体积.

*理论升华

整体建构

思考并回答下面的问题：

提问

巡视

指导

思考

解答

及时了解

学生

知识

掌握

情况

质疑

教

学

过

程

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

回答

及时了解学生知识掌握情况

83

正棱柱的侧面积、全面积、体积公式，正棱锥的侧面积、

全面积、体积公式？

结论：

S正棱柱侧ch； S正棱柱全ch2S底；

V正棱柱S底h；

归纳强调

S正棱锥侧V正棱锥11ch； S正棱锥全chS底；

221S底h．

3

引导

提问

巡视

指导

说明

回忆

反思

动手

求解

记录

检验

学生

学习

效果

分层次要求

*归纳小结

强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思

目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

设正三棱柱的高为6，底面边长为4，求它的侧面积、全面积及体积．

*继续探索

活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题9.5

A组（必做）；9.5

B组（选做）

(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的正棱柱实例

【教师教学后记】

项目

89

90 反思点

学生是否真正理解有关知识；

学生知识、技能的掌握情况

是否能利用知识、技能解决问题；

在知识、技能的掌握上存在哪些问题；

学生是否参与有关活动；

学生的情感态度

在数学活动中，是否认真、积极、自信；

遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；

学生是否积极思考；

思维是否有条理、灵活；

学生思维情况

是否能提出新的想法；

是否自觉地进行反思；

学生是否善于与人合作；

学生合作交流的情况

在交流中，是否积极表达；

是否善于倾听别人的意见；

学生是否愿意开展实践；

能否根据问题合理地进行实践；

学生实践的情况

在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；