2.1.4 平面与平面之间的位置关系教案和学案内容

第3课时

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P48～P50，回答下列问题．

(1)观察教材图2.1－21，线段A′B所在直线与长方体ABCD­A′B′C′D′的六个面所在平面有哪几种位置关系？

提示：线段A′B在平面A′ABB′内，与平面D′DCC′平行，与其余四个面相交．

(2)拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？

提示：从实验中可以看出，两个平面之间的位置关系只有平行和相交两种．

2．归纳总结，核心必记

两个平面的位置关系

位置关系

图示

符号表示

公共点个数

平行

相交

α∥β

0个

[问题思考]

α∩β＝a

无数个

(1)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？

提示：不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．

(2)分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？

提示：分别位于两个平行平面内的两条直线一定无公共点，故它们的位置关系是平行或异面．

[课前反思]

通过以上预习，必须掌握的几个知识点．

(1)空间直线与平面有哪些位置关系？

1

；

(2)平面与平面有什么位置关系？

.

观察下图中电线杆所在直线、电线所在直线与地面的位置关系．

[思考1] 电线杆所在直线、电线所在直线与地面各是什么位置关系？

提示：电线杆所在直线与地面相交，电线所在直线与地面平形．

[思考2] 直线与平面有哪些位置关系？

名师指津：直线与平面的位置关系有平行、相交和直线在平面内三种位置关系．

[思考3] 画直线和平面的位置关系时有什么要求？

名师指津：(1)画直线l在平面α内：如图a所示．

要求：表示直线l的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外．

(2)画直线l与平面α相交：如图b所示．

要求：表示直线l的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感．

(3)画直线l与平面α平行：如图c所示．

要求：最直观的画法是表示直线l的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．

讲一讲

2

1．下列说法：

①若直线a在平面α外，则a∥α；②若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．

其中说法正确的个数为(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

[尝试解答] 对于①，直线a在平面α外包括两种情况：a∥α或a与α相交，∴a和α不一定平行，∴①说法错误．

对于②，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴②说法错误．

对于③，∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，∴③说法正确．

[答案] B

直线与平面位置关系的判断

(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．

(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．

练一练

1．下列五个命题中正确命题的个数是(

) ①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α

内的任何一条直线平行；

③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；

④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；

⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α. A．0 B．1 C．2 D．3

解析：选B 如图所示，①错误，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AA′∥

BB′，AA′

3

却在过BB′的平面ABB′A′内；②错误，AA′∥平面BB′C′C，BC⊂平面BB′C′C，但AA′不平行于BC；③错误，AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交；④正确，A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′⊄平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD；⑤错误，AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行，但AA′⊂平面ABB′A′.故选B.

观察下面的两个图：

[思考1] 一楼、二楼的地面所在平面的位置关系是什么？

提示：平行．

[思考2] 房顶所在平面的位置关系是什么？

提示：相交．

[思考3] 怎样用图形表示两平面的位置关系？

名师指津：(1)两平行平面的画法：画两平行的平面时要注意把表示平面的两个平行四边形画成对应边平行．

(2)两相交平面的画法：

①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图(1)．

②画表示两平面交线的线段，如图(2)．

③过图(1)中线段的端点分别画线段使它平行且等于②表示交线的线段，如图(3)．

④画表示平面的平行四边形的其他边，如图(4)．

讲一讲

2．(1)已知a、b、c为三条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面：

①α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；

②α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交；

③a∥c，c∥α，则a∥α；

④a∥β，a∥α，则α∥β；

其中正确的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 (2)完成下列作图．

4

①在图中画出一个平面与两个平行平面相交．

②在图中分别画出三个两两相交的平面．

[尝试解答] (1) ①错，a与b也可能异面．②错，a与β也可能平行．③错，也可能a⊂α.④错，α与β也可能相交．

(2)①如图所示，

②如图所示，

[答案] (1)A

1．平面与平面的位置关系的判断方法

(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．

(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．

2．常见的平面和平面平行的模型

(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；

(2)长方体的六个面中，三组相对面平行．

练一练

2．已知下列命题：

①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；

③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；

5

④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．

其中正确命题的序号是________(将你认为正确的命题的序号都填上)．

解析：①错，a与b也可能平行．②对，因为α∥β，所以α与β无公共点．又因为a⊂α，b⊂β，所以a与b无公共点．③对，由已知，a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面．④错，a与β也可能平行．

答案：②③

—————————[课堂归纳·感悟提升]———————————

1．本节课的重点是会判断直线与平面、平面与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示直线和平面、平面和平面的位置关系．难点是判断直线与平面、平面与平面的位置关系．

2．本节课要重点掌握的规律方法

(1)直线与平面位置关系的判断方法，见讲1. (2)平面与平面位置关系的判断方法，见讲2. 3．本节课的易错点是判断直线与平面、平面与平面的位置关系，如讲1，讲2.

课下能力提升(九) [学业水平达标练]

题组1 直线与平面的位置关系

1．M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有(

) A．l∥α B．l⊂α

C．l与α相交 D．以上都有可能

解析：选C 由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．

2．在长方体ABCD­A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有(

) A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

6

解析：选B 如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D. 3．直线a在平面γ外，则(

) A．a∥γ

B．a与γ至少有一个公共点

C．a∩γ＝A

D．a与γ至多有一个公共点

解析：选D 直线a在平面γ外，其包括直线a与平面γ相交或平行两层含义，故a与γ至多有一个公共点．

4．(2016·日照高一检测)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是________．

解析：当这两点在α的同侧时，l与α平行；当这两点在α的异侧时，l与α相交．

答案：平行或相交

5．简述下列问题的结论，并画图说明：

(1)直线a⊂平面α，直线b∩a＝A，则b和α的位置关系如何？

(2)直线a⊂α，直线b∥a，则直线b和α的位置关系如何？

解：(1)由图①可知：b⊂α或b∩α＝A. (2)由图②可知：b⊂α或b∥α.

题组2 平面与平面的位置关系

6．圆柱的两个底面的位置关系是(

) A．相交

B．平行

C．平行或异面 D．相交或异面

解析：选B 圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．

7．如图所示，用符号语言可表示为(

) A．α∩β＝l B．α∥β，l∈α

C．l∥β，l⊄α D．α∥β，l⊂α

解析：选D 显然图中α∥β，且l⊂α.

7

8．(2016·长春高一检测)平面α与平面β平行，

且a⊂α，下列四种说法中

①a与β内的所有直线都平行；

②a与β内无数条直线平行；

③a与β内的任意一条直线都不垂直；

④a与β无公共点．

其中正确的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4

解析：选B 如图，在长方体中，平面ABCD∥平面A′B′C′D′，

A′D′⊂平面A′B′C′D′，

AB⊂平面ABCD，A′D′与AB不平行，且A′D′与AB垂直，

所以①③错．

9．三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b. (1)判断c与α的位置关系，并说明理由；

(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．

解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α. (2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，所以a，b没有公共点．由于a、b都在平面γ内，因此a∥b，又c∥b，所以c∥a. [能力提升综合练] 1．(2016·广州高一检测)若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(

) A．α内的所有直线均与a异面

B．α内不存在与a平行的直线

C．α内直线均与a相交

D．直线a与平面α有公共点

解析：选D 由于直线a不平行于平面α，则a在α内或a与α相交，故A错；当a⊂α时，在平面α内存在与a平行的直线，故B错；因为α内的直线也可能与a平行或异面，故C错；由线面平行的定义知D正确．

2．(2016·南昌高一检测)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(

) A．平行

B．相交

C．平行或相交 D．不能确定

8

解析：选C 逆向考虑画两平行面，看是否能在此两平面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两平面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．

3．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能有(

) A．1条或2条交线

B．2条或3条交线

C．仅2条交线

D．1条或2条或3条交线

解析：选D 当α过β、γ的交线时，三平面有一条交线．当β∥γ时，有两条交线．当α与β、γ两两相交且不交于同一直线时，有三条交线．故选D. 4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(

) A．平行 B．相交

C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内

解析：选D 由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)．

5．过三棱柱ABC­A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

解析：如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1. 答案：6 6．下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β. 其中错误命题的序号为________．

解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD­A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．

9

答案：①②

7．试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？

解：三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分．

8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为B1C1、A1D1的中点．求证：平面ABB1A1与平面CDFE相交．

证明：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，

∴EC与B1B不平行，

延长CE与BB1，延长线相交于一点H，

∴H∈EC，H∈B1B，

又知B1B⊂平面ABB1A1，

CE⊂平面CDFE，

∴H∈平面ABB1A1，H∈平面CDFE，

故平面ABB1A1与平面CDFE相交．

10