习题4.2课堂实录【2】

直线与圆的位置关系习题课（第一课时）学案

班级：

姓名

一、课时自学要求：

（一）、学习目标

知识与技能：1、掌握直线与圆的位置关系

2、会判断直线与圆的位置关系

3、会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题

过程与方法：1、学生在原有知识储备、理解的基础上，独立思考、自主探究、合作交流，构建知识框架，归纳解题思想方法。

2、强化学生用解析法解决几何的意识，培养学生分析问题、解决问题的能力

情感与价值观：1、通过习题的处理，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合、化归转化等思想方法

2、加深对解析法解决几何问题的认识，激发学生学习热情、合作意识和思考问题的严谨性及探索精神

（二）、重难点：

重点：直线与圆位置关系的理解与应用

难点：运用直线与圆位置关系的性质及判定解决相关的问题

（三）学习方法：自学——互学——导学

二、温故知新：

1、直线kxy13k，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）

A (0,0) B (0,1) C (3,1) D (2,1)

2、已知点A(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(

) A．2

B．2－2

C．2－1

D．2＋1 3、圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是(

) A．(1，－2)，5

B．(1，－2)，5 C．(－1,2)，5

D．(－1,2)，5

三、知识链接：

1、直线与圆的位置关系：①

② ③

2、两种研究方法：

0联立方程消去xy代数法0

得一元二次方程，=b24ac0

dr圆心到直线的距离为d几何法dr

半径为rdr

四、自主探究：

（一）、探究点一：判定直线与圆的位置关系

例1、已知圆C：x2y22x1，直线l:ykx11，则直线l与圆C的位置关系是（

) A．一定相离 B．一定相切 C．相交且一定不过圆心 D．相交且可能过圆心

归纳总结：判断直线与圆的位置关系的常用方法

（二）、探究点二：圆的切线问题

例2、已知点P21,22,M3,1，圆C:x1y24

22(1)

求过点P的圆C的切线方程

(2)

求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长

归纳总结：

（三）、探究点三：圆的弦长问题

例3、设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若为

.

归纳总结：圆中弦长问题的解法：

五、呈重点、现规律

六、配餐作业、能力提升

1、设圆上的点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在这个圆上，且圆与直线xy10相交所得的弦长为22，求此圆的方程。（将本题中的“与直线xy10相交所得的弦长为，则圆C的面积22”，变为“与直线xy10在A点相切”，则圆的方程如何？）

2、已知圆C：x2＋y2－6x+12y+20＝0及直线l：2mx-y-8m-3＝0(m∈R)．

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；

(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．

3、已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．

思考题：已知圆C: (x－4)2＋(y-2)2＝9和定点P(-2，-3),过点P作圆的切线，切于点A,B。求AB所在的直线方程及AB线段长。

直线与圆的位置关系习题课（第一课时）教学设计

昌黎汇文二中

赵秀英

一、课时学习目标

知识与技能：1、掌握直线与圆的位置关系

2、会判断直线与圆的位置关系

3、会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题

过程与方法：1、学生在原有知识储备、理解的基础上，独立思考、自主探究、合作交流，构建知识框架，归纳解题思想方法。

2、强化学生用解析法解决几何的意识，培养学生分析问题、解决问题的能力

情感与价值观：1、通过习题的处理，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合、化归转化等思想方法

2、加深对解析法解决几何问题的认识，激发学生学习热情、合作意识和思考问题的严谨性及探索精神

重点：直线与圆位置关系的理解与应用

难点：运用直线与圆位置关系的性质及判定解决相关的问题

学习方法：自学——互学——导学

二、温故知新：

1、直线kxy13k，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）

A (0,0) B (0,1) C (3,1) D (2,1)

2、已知点A(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(

) A．2

B．2－2

C．2－1

D．2＋1 3、圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是(

) A．(1，－2)，5

B．(1，－2)，5 C．(－1,2)，5

D．(－1,2)，5

三、知识链接：

1、直线与圆的位置关系：①

② ③

2、两种研究方法：

0代数法联立方程消去xy得一元二次方程，=b24ac0

0

dr几何法圆心到直线的距离为d半径为rdr

dr

四、自主探究：

（一）、探究点一：判定直线与圆的位置关系

例1、已知圆C：x2y22x1，直线l:ykx11，则直线l与圆C的位置关系是（A．一定相离 B．一定相切 C．相交且一定不过圆心 D．相交且可能过圆心

方法1：联立方程x2y22x1得kx111k2x22k22k2xk22k0

y 则2k22k2241k2k22k42k210

故直线与圆相交，又圆心C1,0不在直线l:ykx11上，所以选择C 方法2：将圆C的方程变形为x12y22，圆的圆心坐标为C1,0，半径r2，

圆心C到直线l:ykx11的距离

dk1k1k21k2112

故直线与圆相交，又圆心C1,0不在直线l:ykx11上，所以选择C 方法3：将圆C的方程变形为x12y22，圆的圆心坐标为C1,0，半径r2，

直线l:ykx11是恒过A1,1的动直线，因为AC12，点A在圆C内

故直线与圆相交，又圆心C1,0不在直线l:ykx11上，所以选择C

归纳总结：判断直线与圆的位置关系的常用方法

（1）

代数法：联立方程之后利用与0的关系判断

（2）

几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的关系判断

（3）

点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判定直线与圆相交

在上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题。

设计意图：通过一题多解，来训练学生思维的发散，提炼解题技巧，把思维引向深处。

)

（二）、探究点二：圆的切线问题

例2、已知点P21,22,M3,1，圆C:x1y24

22(3)

求过点P的圆C的切线方程

(4)

求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长

解：由题意得圆心C1,2，半径r2

（1）211+2-224，点P在圆C上

12211

1，切线的斜率kk211PC22又kPC 过点P的圆C的切线方程是y22x（2）21，即xy1220

3121254，点M在圆C外

2当过点M的切线斜率存在时，设切线方程为y1kx3，即kxy13k0， 圆心C到切线的距离dk213kk21r2解得k3 43x3，即3x4y50。

4 当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30，又点C1,2到直线x30的距离d=3-1=2=r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线。

综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50

切线方程是y1MC3112225,过点M的圆C的切线长为MCr2541

2

归纳总结：在求过一点的圆的切线方程时，应先判定点和圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在。

1、

求过圆上一点x0,y0的圆的切线方程

先求切点与圆心连线的斜率k，又垂直关系知切线的斜率为1，由点斜式方程可求得切线k方程。若切线的斜率不存在，则由图形得切线的方程为xx0

2、

求过圆外一点x0,y0的圆的切线方程

（1）

几何法：当切线的斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0kxx0，即

kxyy0kx00，由圆心到直线的距离等于半径求k即可得出切线方程。

若切线的斜率不存在，则由图形得切线的方程为xx0

（2）

代数法：当切线的斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0kxx0，即ykxy0kx0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由=0求k即可得出切线方程。

若切线的斜率不存在，则由图形得切线的方程为xx0

设计意图：本题的判断点与圆的位置关系是学生容易忽略的，造成学生在第一问上不注意挖掘隐含的条件，使得问题解决起来比较繁琐。而在第二问上学生又容易丢点斜率不存在的一种情况，故在学生易忽略或易错点上设计了这一问题。

（三）、探究点三：圆的弦长问题

例3、设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若为

. 方法一：直线的方程可化为xy2a0，

22圆的方程可化为xyaa2，则圆的圆心C0,a,半径ra22，

2，则圆C的面积圆心C到直线的距离d2a2a2a2，

2a2l222rd,a23，

2222解得a2,r4圆的面积为S=r24

x2y22ay202方法二：联立方程得xax10，x1x2a,x1x21

yx2a 23a112241，

解得a22,r2a224圆的面积为S=r24

归纳总结：圆中弦长问题的解法：

（1）

几何法：直线被圆截得的半弦长22l、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且2lrd2，即l2r2d2 2（2）

代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x或y的一元二次方程，由根与系数的关系即可得弦长AB1k或AB12x1x2xx1k21224x1x2

112yy1yy4y1y2k0

121222kk设计意图：本题采用了一题多解的方法，通过不同方法的对比，使学生寻找出解决这一类问题的优化解法；虽然几何法相对计算简便，但弦长公式为以后解直线被其它二次曲线解得弦，求弦长时奠定了基础。

五、呈重点、现规律

六、配餐作业、能力提升

1、设圆上的点A(2,3)关于直线x2y0的对称点仍在这个圆上，且圆与直线xy10相交所得的弦长为22，求此圆的方程。（将本题中的“与直线xy10相交所得的弦长为，变为“与直线xy10在A点相切”，则圆的方程如何？）

22”

解：设点A关于直线x2y0对称点为A，由已经AA为圆的弦，所以AA的对称轴

x2y0过圆心。设圆心P2a,a，半径为R，则R2PA2a2a3

又弦长222Rd,d222222aa1222

3a1R2222,4a1a33a1222

a7a3或解得

R244R52则所求圆的方程为x6y352或x14y7244

变式：解：设点A关于直线x2y0对称点为A，由已经AA为圆的弦，所以AA的对称轴2222x2y0过圆心。设圆心P2a,a，半径为R，则R2PA2a2a3

又圆与直线xy10在A点相切，所以kAP则所求圆的方程为x10y5128

2、已知圆C：x2＋y2－6x+12y+20＝0及直线l：2mx-y-8m-3＝0(m∈R)．

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；

(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．

（1）直线的方程可化为y32mx4，则直线恒过点P4,3，

圆的方程可化为x3y625，则圆的圆心C3,6,半径r5，

2222222a31解得a5,R82，

2a2PC43362210r5

所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交

(2) 当圆心到直线的距离最大时，弦AB的长度最短，此时PCl，

故最短的弦长AB2rPC22252102215

3、

已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．

解：点P在直线3x4y80上，又C1,1

S四边形PACB=2SPACAPACAP3+4+8APPCACPC12222当PC最小时，AP最小，四边形PACB的面积最小

PCmin为点C到直线的距离，PCmin=32+42当PC最小时，AP最小，四边形PACB的面积最小22

=3，APmin=322=22，

设计意图：作业的设计是针对学生对本节课知识掌握情况的检测，在问题上涵盖了本节课的所有知识点，小综合，难度上稍微加大了一点，并对知识进行了延伸。

思考题：已知圆C: (x－4)2＋(y-2)2＝9和定点P(-2，-3),过点P作圆的切线，切于点A,B。求AB所在的直线方程及AB线段长。

设计意图：本题起到承上启下的作用，为下节课研究问题做铺垫。

七、教学反思：本节课在教学过程中，通过“自学---互学---导学”的教学方式，课前将学案给学生，学生自主完成，课上通过小组内部交流后展示，组与组之间可以相互答疑，进行互学，教师在疑难问题处，或方法归纳整理处，适当点拨进行导学，在课堂中充分发挥学生的主体地位，在每一个学生都有自己的收获；在习题设计上通过一题多解、一题多变、尝试错误等形式，充分发挥题目的效益，培养学生综合运用知识的能力，使学生练一题、学一法、通一片。在要求上，立足通法，着眼与基础，寻求解决问题的简便途径；警示错误，着眼于修正，给学生提供“反面教材”，不要怕学生出错，出错是正常的，教师应在学生错误处引导学生及时发现错误，修正错误，这才是教师应采取的措施。