3.3.4 两条平行直线间的距离评课稿

第2课时

点到直线的距离、两条平行线间的距离

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P106～P109，回答下列问题：

(1)如何用代数方法求点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离？

AB提示：由P0Q⊥l，以及直线l的斜率为－，可得l的垂线P0Q的斜率为，因此，垂BA线P0Q的方程可求出．解垂线P0Q与直线l的方程组成的方程组，得点Q的坐标，用两点间距离公式求出|P0Q|，即为点P0到直线l的距离．

(2)能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离，如何转化？

提示：能，由于一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以只要在一条直线上找到一个已知点，求这点到另一条直线的距离即可．

2．归纳总结，核心必记

(1)点到直线的距离

①概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．

|Ax0＋By0＋C|②公式：点P(x0，y0)到直线l: Ax＋By＋C＝0的距离，d＝. A2＋B2(2)两平行直线间的距离

①概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．

②公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝[问题思考] 1．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？

提示：应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式．

2．在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？

提示：两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．

[课前反思] 通过以上预习，必须掌握的几个知识点．

(1)点到直线的距离公式是什么？应注意什么？

；

(2)两平行直线间的距离公式是什么？应注意什么？

. 观察下面坐标系中的直线，思考如下问题：

|C1－C2|A2＋B2.

[思考1]

若过P(x0，y0)的直线l′与l: Ax＋By＋C＝0平行，那么点P到l的距离与l′与l的距离相等吗？

提示：相等．

[思考2]

怎样理解两平行直线间的距离公式？

名师指津：(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式．

(2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．

(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．

①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；

②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 讲一讲

2．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程．

[尝试解答]

由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．

|m＋1|设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝，13|m＋13|d2＝，

13又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，

解得m＝－25或m＝－9. 故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.

求两平行直线间距离的两种思路

(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2|b1－b2||C1－C2|时，d＝2；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝2，k＋1A＋B2必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．

练一练

3．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于(

) A．3

B．7

11C.

D.

10210，，其到6x＋8y－5＝0的距离即为两平行解析：选C

在3x＋4y－2＝0上取一点2线间的距离，d＝

讲一讲

0＋8×1－5262＋82＝1. 103．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：

(1)d的变化范围；

(2)当d取最大值时两条直线的方程．

[思路点拨]

(1)由两平行线间的距离公式写出d与斜率之间的函数关系式，不难求出d的范围或利用数形结合求d的范围．

(2)求出d取最大值时斜率的值，即可求出所求直线方程．

[尝试解答]

(1)法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x＝6和x＝－3，则它们之间的距离为9. ②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l1：y－2＝k(x－6)，l2：y＋1＝k(x＋3)，

即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0，

|3k－1＋6k－2|3|3k－1|∴d＝＝2，

k2＋1k＋1即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0. ∵k∈R，且d≠9，d＞0，

∴Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0，

即0＜d≤310且d≠9. 综合①②可知，所求d的变化范围为(0,310]．

法二：如图所示，显然有0＜d≤|AB|. 而|AB|＝6＋32＋2＋12＝310. 故所求的d的变化范围为(0,310]．

(2)由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB. 而kAB＝2－－11＝，

6－－33∴所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，

y＋1＝－3(x＋3)，

即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.

解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程．

练一练

4．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．

(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．

2x＋y－5＝0，解：(1)法一：联立⇒交点P(2,1)，

x－2y＝0

当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，

即kx－y＋1－2k＝0，

∴|5k＋1－2k|4＝3，解得k＝，

3k2＋14∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0. 3而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意，

故所求l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2. 法二：经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，

即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，

∴＝3，

2＋λ2＋1－2λ2|52＋λ－5|

1即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或，

2∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2. 2x＋y－5＝0，(2)由解得交点P(2,1)，

x－2y＝0，

过P任意作直线l，设d为A到l的距离，

则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，

∴dmax＝|PA|＝10.