阅读与思考 欧几里得《原本》与公理化方法PPT专用教学设计内容

“直线与平面垂直的判定”教学设计

邱 瑶（山东省青岛市实验高级中学）

一、教材内容及地位分析

本节课为人教A版《普通高中课程标准实验教科书

数学》必修2“2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时）”，主要包括直线与平面垂直的定义、判定定理及初步运用，其中，如何让学生理解线面垂直的判定定理是本节课的核心内容.本节内容是直线与直线垂直的延续，又是平面与平面垂直的基础，在教材中起着承上启下的作用. 二、课标分析

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）中与本课相关的要求是：通过直观感知，了解空间中直线与平面的垂直关系，归纳出判定定理；用数学语言表述有关垂直的判定；对判定定理只要求直观感知、操作确认，在选择性必修课程中将用向量方法加以论证；能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题；收集、阅读几何学发展的历史资料；重点提升直观想象、逻辑推理和数学抽象素养. 三、学情分析

授课对象为青岛实验高中数学最高层次教学班的学生（高一），学生的数学基础较好，数学思维能力较高，学习兴趣浓厚.在学习本课之前，学生已学习过空间中点线面的位置关系，以及直线与平面平行的判定与性质，这些知识和研究方法为本课提供了必要的学习基础.此外，学生能够从实际生活中举出丰富的线面垂直的例子，能够直观地感受到线面垂直的关系，这为本课提供了生活经验方面的基础. 四、教学目标

1.通过对实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义. 2.通过类比联想、直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理. 3.渗透空间问题平面化、无限转化为有限、线线垂直与线面垂直互相转化等思想方法，培养学生探索新知识的能力. 4.渗透数学文化，激发学生的学习兴趣，提升学习信心. 五、教学重点与难点

重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究. 难点：归纳出直线与平面垂直的判定定理. 六、教学实施

1.情境引入

如图1，PPT展示青岛海军节的图片.

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图1

问题1：从图片中可以抽象出直线与平面的位置关系吗？

让学生回答，同时PPT演示在图片中抽象出直线和平面.引导学生，前面两种（线在面内、线面平行）已经学过，所以接下来要研究线面相交.而在线面相交的情况中，最特殊的情形是线面垂直，从而引出本节课的主题：直线与平面垂直的判定. 问题2：你还能举出线面垂直的例子吗？

让学生举例，并引导学生：线面垂直不仅是最特殊的线面相交，也是最常见的线面相交的情况. 【设计意图】从学生熟悉的实际生活和学生已有的认知（直线与平面的位置关系）引入要研究的新知识，让学生体会数学来源于生活，服务于生活，培养数学抽象的能力，同时将新知纳入旧知的体系中，从“特殊”和“常见”两个角度说明研究线面垂直关系的必要性，激发认知需求. 2.提炼定义

运用信息技术手段，依次演示可操作的三维立体模型：路由器、木杆、圆锥. 问题3：路由器的天线与路由器表面垂直吗？

让学生发表看法.如图2，初始界面两根天线都垂直于路由器表面，可以调节天线的角度，呈现斜交的情况，从正反两方面让学生直观地感知直线与平面的垂直关系.展示18世纪法国数学家克莱罗在《几何基础》中对线面垂直的解释“一条直线不向平面的任何一面倾斜”. 图2

问题4：直立于地面的木杆与它在地面的影子垂直吗？

让学生发表看法.如图3，调整光源的位置，随着光源的移动，界面中出现不同位置的

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影子，可观察到木杆与影子始终垂直.此例体现了如果线面垂直，则线线应该要垂直. 图3

问题5：圆锥是如何形成的？在旋转过程中，什么量或者关系没有发生改变？圆锥的轴与底面垂直吗？

让学生发表看法.如图4，在旋转过程中，直角三角形的两条直角边的垂直关系始终没有改变，所以圆锥的轴垂直于每一条半径，即直线垂直于平面内所有与它相交的直线，所以从任何一个方向上看，直线都是不倾斜的，从而导致线面垂直.此例体现了如果线线垂直，则线面垂直. 图4

让学生尝试给线面垂直下一个定义.展示欧几里得《几何原本》中线面垂直的定义“若一条直线垂直于平面上与该直线相交的所有直线，则该直线与平面垂直”.引导学生，用线线垂直去定义线面垂直，体现了“平面化”、“降维”的数学思想. 引导学生，平面内不过线面交点的直线也与该直线垂直（异面垂直），所以定义中“与该直线相交”可以去掉，实际上该直线垂直于平面内的“任意一条”直线. 让学生在学案上用文字语言、符号语言、图形语言来表述直线与平面的垂直关系，并思考定义的作用.将学生填写的内容拍照，同步传到大屏幕上，对比显示学生之间不同的答案，对有关概念、记法、画法进行有针对性的点拨，强调定义既是判定，又是性质，渗透线线垂直与线面垂直的相互转化的思想. 【设计意图】让学生像数学家一样经历探索定义的过程，从最初的直观感受“不歪”，一步步归结到线线的位置关系，体会空间问题平面化、降维、转化的数学思想，体会定义的双向性. 3.探索定理

问题6：用定义判定线面垂直，方便吗？

问题7：你认为可以如何判定？

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引导学生，定义是“无限验证”，可否转化为“有限验证”.类比线面平行的判定定理，提出猜想. 针对直线垂直于平面内的“一条”直线即判定线面垂直的猜想，由学生举出反例，让学生用教学用具大三角板或大圆规上台操作演示.如，让大圆规的两条腿成直角，代表两条垂直的直线，让其中一条在桌面内，另一条可以呈现与桌面的斜交或在面内的情况. 如图5，PPT上呈现三角板的长直角边垂直于短直角边（在平面内），而长直角边所在直线与平面不垂直的反例，在此基础上，推翻“两条”、“三条”至“无数条”的猜想.引导学生，无数条平行线其实等效于同一个方向，显然直线垂直于这一个方向的直线保证不了垂直于平面，所以需要增加方向（变平行为相交）. 如图6，PPT演示增加一个方向后，三角板的长直角边所在直线与平面的关系从斜交变为垂直，再结合长方体中的反例（线在面内、线面平行）和正例（线面垂直），如图7所示，从而提出猜想：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直. 图5 图6 图7

问题8：（操作实验）如图8，过

的顶点

翻折纸片，得到折痕

，将翻折后的纸 与桌面接触）片竖起放置在桌面（ 、.如何翻折才能使折痕 与桌面所在的平面垂直？

图8

让学生用教师课前准备好的标记了顶点

、

、

的三角形卡片进行操作实验，教师实时录像学生活动，同步显示到大屏幕上，让学生可以看见其他组同学的活动. 让学生展示自己的模型（折痕与桌面垂直的和不垂直的两种），并引导学生利用刚学习的定义去分析，不沿着高线折的模型不符合线面垂直的定义，那么，沿着高线折的模型是否符合定义，从而引出问题9. 问题9：如何操作能够验证 与平面内的所有直线都垂直？

先让学生上台操作演示（旋转模型），然后运用信息技术手段动态演示，如图9所示：将 、 在平面内绕

点旋转，显示转过的痕迹.引导学生，旋转过程中 与 、 的垂直关系始终没变，每一条转过的痕迹就代表了平面内的一条直线，而 始终没动，说明 垂直于每一条痕迹，符合线面垂直的定义（欧几里得定义），可见 垂直于桌面.

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图9 引导学生，两条直线相交即可，至于过不过线面的交点是无关紧要的.让学生在学案上用文字语言、符号语言、图形语言来表述直线与平面垂直的判定定理，并思考定理的作用.将学生填写的内容拍照，同步传到大屏幕上，对比显示学生之间不同的答案，有针对性地进行点拨，强调五个条件缺一不可.

问题10：定义与判定定理的联系和区别？

引导学生，二者都体现了线线垂直与线面垂直的转化，区别在于，定义中的“线”是任意一条，而定理中的“线”的相交的两条. 问题11：为什么两条相交直线可以“代表”平面内的所有直线？

引导学生回忆向量的知识，从而想到基底的概念. 【设计意图】通过对用定义判定线面垂直的思考，引发“无限验证”向“有限验证”的转化.通过类比线面平行的判定定理，提出猜想，并最终归结到两条相交直线的猜想上.通过折纸试验，对猜想进行直观的验证.通过旋转，将静态的试验动态化，直观地验证了符合定义.通过对定义和定理的比较，引导学生思考为什么两条相交直线可以“代表”平面内的所有直线. 4.应用巩固

如图10，运用信息技术手段，演示可操作的三维立体模型：门. 图10

问题12：门轴与地面垂直吗？

转动门即可验证（动态演示），体现定义或判定定理的简单运用. 问题13：与门轴平行的另一条边与地面垂直吗？由此你可以得出什么猜想？

如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 让学生写出已知、求证（符号语言），画出图形（图形语言），并给出证明.将学生的解答过程拍照，同步传到大屏幕上，对比显示学生之间不同的解法（定义法和定理法），引

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导学生要交代辅助线的作法，注意步骤的严谨性，渗透线线垂直与线面垂直互相转化的思想方法. 【设计意图】通过演示门的模型，既对刚刚学习的线面垂直的定义和判定定理进行了一个简单的应用，又引出了推论.在证明过程中，让学生练习将文字语言转化为符号语言和图形语言，注意证明过程的规范性，体会转化的思想方法. 5.自我评价

问题14：通过本节课的学习，你有哪些收获？

问题15：你认为本节课你的学习目标完成的（A.很好 B.一般 C.不好）

【设计意图】通过让学生总结反思，检验教学的效果. 6.课后作业

(1)课本67页第1题. (2)查阅资料，了解欧几里得与《几何原本》. 【设计意图】第一项作业为巩固性作业，让学生体会用线面垂直的判定定理和定义去解决问题的一般方法.第二项作业为研究性作业，呼应课堂上呈现的数学史，渗透数学文化. 七、教学评价

课堂上教师随时对学生的表现进行评价，学生总结收获、对照学习目标进行自我评价，课后再通过作业反馈、测试、访谈等形式进行评价.

八、教学反思

数学知识的发生发展只有符合逻辑、符合认知规律，才是自然的、科学的.对于直线与平面垂直关系的认知，应该是从直观感受到数学本质，从无限验证到有限验证的过程.在教学设计时，力图做到立足于学生已有的认知基础，立足于学生的认知需求和认知特点，结合数学史，结合生活实际，让学生经历与数学家相似的探究过程，让数学知识的发生发展更加的自然，回归数学理解的本质.在判定定理不加证明的情况下，力图让折纸试验的作用发挥到极致，动态地、直观地验证符合定义. 信息技术的创新使用是本课得以完成以上设想的最重要的保障.本课共设计了五个三维立体模型，在课堂上进行动态的操作演示，为学生理解直线与平面的垂直关系提供直观，提高了学生的观察能力和空间想象能力.路由器、木杆、圆锥的模型，从直观感受到数学本质，让“直观感知”的过程更加全面、有效；折纸的模型，将静态的折纸试验动态化，让“操作确认”的过程更加符合逻辑；门的模型，承上启下，让学生自然而然地提出数学结论. 定义、判定定理的三种语言表述，以及例1的解答，都完全交给学生自主完成，学生的答案不一定是标准答案，但这恰恰是课堂上宝贵的教学资源，而利用手机与大屏的同屏功能可以充分地暴露学生的思维，并进行对比讲解，便捷高效.实时录像也引起学生的兴趣，能够展示全班同学的实验过程. 但是，本课也有很多遗憾.虽然课堂上力图做到充分尊重学生的主体地位，也让学生进

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行了操作演示、动手实验等活动，但是缺乏需要学生深度思考的问题和深度探究的活动，所以今后的教学中可以再大胆一些，问题再开放一些，提示性再少一些，让学生的探究活动更独立完整一些.在对学生的作答情况进行点评时，应该先让学生说说他的想法，做到更加尊重和信任学生，给学生更多的展示机会.教学语言还可以更加精炼，教学方式还可以更加多样化，信息化手段还可以更加丰富，今后应更加注重信息技术与数学课程的深度融合. 总之，教学中需要反思的地方还有很多，教学是一门遗憾的艺术，这些遗憾只能在以后的教学中多加注意，不断反思、不断总结、不断改进、不断提升，这样教育教学理念和教学能力才能与时俱进. 参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018:27-30. [2]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书

数学2

必修

A版[M].北京：人民教育出版，2007:64-66. [3]沈中宇.数学史融入立体几何教学的行动研究[D].上海：华东师范大学，2017:50-51. [4]高振严，何伟淋.“线面垂直判定定理”：从历史看证明、找模型[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（7）:35-40.

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