2.2.4 平面与平面平行的性质优质课教案内容

2.2.4 平面与平面平行的性质

一．

教材分析

新教材要求

“直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算”是探索和认识空间图形及其性质的主要方法。高一阶段立体几何的学习更注重“直观感知，操作确认”并适度进行“思辨论证”。本节课就以此为指导思想展开探究。

二．

地位和作用

面面平行的性质与前面的线面平行的性质对应，其研究顺序与前一节线面平行的性质研究一致。作为本节最后一部分内容，本小节在教材当中起到一个承上启下的作用。

三．

学情分析

前面已经学习了线线、线面、面面的位置关系及判定，也学***面平行的性质，本节课与上一节课的研究顺序和方法基本相同，学生也有了一定的研究经验。

四、目标定位

1、知识与技能

掌握两个平面平行的性质定理及其应用

2、过程与方法

学生通过观察与类比，借助实物模型理解及其应用

3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；

（2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。

五、教学重点、难点

重点：平面与平面平行的

难点：平面与平面平行的性质定理运用

课时安排

1课时

教学过程

复习提问、引入新课

复习：如何判断平面和平面平行? 答:有两种方法,一是用定义法,须判断两个平面没有公共点;二是用平面和平面平行的判定定理,须判断一个平面内有两条相交直线都和另一个平面平行. 思考:如果两个平面平行，会有哪些结论呢? 探究新知

探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？

答:如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行. 探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？

a

借助长方体模型探究

1

结论:如果两个平面平行，那么两个平面内的直线要么是异面直线,要么是平行直线

探究3:当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？为什么？

α

a

b

β

答:两条交线平行. 下面我们来证明这个结论

如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，求证：a∥b 证明：∵α∩γ＝a,β∩γ=b ∴aÌα，bÌβ

∵α∥β

∴a，b没有公共点，

又因为a，b同在平面γ内，

所以，a∥b 这个结论可做定理用

平面与平面平行的性质

2

文字语言

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线

平行

. 符号语言

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒

.

思考

(1)两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？

答

不一定.因为两个平面平行，所以这两条直线无公共点，它们平行或异面

(2)两个平面平行，其中一个平面内直线必平行于另一个平面吗？

答

平行.因为两个平面平行，则两个平面无公共点，则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点，所以它们平行.

想一想：这个定理的作用是什么? 答:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

面面平行的几条性质：

1．性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

2．两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 3．夹在两个平行平面间的平行线段相等．

4．经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行

题型一

线面平行性质定理的应用

例1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是

平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在

DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，

求证：AP∥GH. 证明

连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点. 又∵M是PC的中点，

∴AP∥OM. 又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，

∴AP∥平面BDM. 又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，

∴AP∥GH.

跟踪训练1 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，

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E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1A1EF，

B1CC1EG.求证：AC∥FG.

证明

∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，

∴AC∥平面A1EC1. 又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，

∴AC∥FG.

题型二

面面平行性质定理的应用

例2 已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α. 证明

①若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC. ∵α∥β，∴AC∥BD. 又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD. 又BD⊂平面α，MN⊄平面α，∴MN∥平面α. ②若AB、CD异面，

如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，

连接MP、PN、BE、ED. ∵AE∥CD. ∴AE、CD确定平面AEDC. 则平面AEDC与α、β的交线分别为ED、AC，

∵α∥β，∴ED∥AC. 又P、N分别为AE、CD的中点，

∴PN∥ED，又ED⊂平面α，PN⊄平面α，

∴PN∥平面α. 同理可证MP∥BE，∴MP∥平面α，

∵AB、CD异面，∴MP、NP相交. ∴平面MPN∥平面α. 又MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α.

跟踪训练2 如图，平面α∥平面β∥平面γ，

两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，

B，C和点D，E，F.已知AC＝15 cm，DE＝5 cm，

AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长.

题型三

平行关系的综合应用

例3 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能

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否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.

跟踪训练3 如图，三棱锥A－BCD被一平面所截，截 面为平行四边形EFGH. 求证：CD∥平面EFGH.

例4 如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，

M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l. (1)求证：l∥BC；

(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.

例5 如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形.

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1.如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线(

) A.只和这个平面内的一条直线平行

B.只和这个平面内两条相交直线不相交

C.和这个平面内的任何一条直线都平行

D.和这个平面内的任何一条直线都不相交

2.已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是(

) A.α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b B.α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β

C.a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

D.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 3.若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A∉α，则(

) A.α∥平面ABC B.△ABC中至少有一边平行于α

C.△ABC中至多有两边平行于α

D.△ABC中只可能有一边与α相交

4.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝ ，过点P，E，F的平面与棱CD交于Q，则PQ＝

5.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为

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课堂小结

1.三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：

2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.

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